Welche der Axiome aus der Definition einer Gruppe sind erfüllt? G: Menge Z und Verknüpfung x+2y resp. x+y+1

Question

Aufgabe:

Entscheiden Sie jeweils, welche der Axiome (1), (2), (3) aus der Definition einer Gruppe erfüllt sind und welche nicht:

a) Die Menge ℤ zusammen mit der Vernüpfung x * y = x + 2y

b) Die Menge ℤ zusammen mit der Verknüpfung x  * y = x + y + 1

Axiome:

(1) für alle \( a , b , c \in G \text { gilt: } a * ( b * c ) = ( a * b ) * c \)

(2) es existiert ein \( e \in G \), so dass für alle \( a \in G \text { gilt: } a * e = e * a = a \)

(3) für alle \( a \in G \) existiert \( b \in G \), so dass \( a * b = b * a = e \) gilt.

Answer 1

Also das oben stimmt leider nicht ganz

zu a)  (1) ist nicht erfüllt, stimmt, das kann man mit beinahe beliebigen Zahlen nachprüfen.

(2) ist aber auch nicht erfüllt, da z.Bsp. 3*e=3+2e und e*3=e+6.

Gäbe es so ein e, dann ist 3+2e=e+6 also e=3.

Dieses e Funktioniert dann aber nicht mehr für zum beispiel a=2, da 2*3=2+6=8 und nicht =2.

Es muss aber ein e für alle Elemente in Z geben und nicht für jedes Element eines.

 

und zu (3), a*b=e heißt ja a+2b=e, das heißt a=e-2b. b*a=eheißt b+2a=e also a=(e-b)/2.

Also gilt: e-2b=(e-b)/2 ⇔2e-4b=e-b ⇔e=3b das heißt wenn a*b=b*a=e, dann ist e=3b und damit a=b.

Da das aber für alle a,b gelten soll und nicht nur für a=b ist das falsch.

 

zu b)  

(1) ist erfüllt, einfach nachrechnen.

(2) mit e=-1 ist das erfüllt

(3) gesucht ist zu a ein b so dass a*b=e=-1 also a+b+1=-1 ⇔a+b=-2⇔b=-2-a

das heißt es ist auch erfüllt, da zu a in Z auch immer -2-a in Z ist.

Comments

ich hab da mal eine kleine verständnisfrage:
undzwar frage ich mich, warum axiom 1 bei a nicht zutrifft?

ist, jetzt mal an einem konkreten beispiel:

(3 + 2*4) + 5 = 3 + (2*4 + 5)?

oder steh ich da komplett auf dem schlauch?

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kannst du deine antworten vielelciht nochmal genauer erläutern?
ich habe da leider irgendwie noch meine probleme mit

das wäre sehr nett von dir

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ich weiß nicht wie du hier (3 + 2*4) + 5 = 3 + (2*4 + 5) drauf kommst.

Ich unterscheide jetzt mal "•" ist das normale Malrechnen und "*" ist die neue Verknüpgung. Dann ist:

 

3*(4*5)=3+2•(4*5)=3+2•(4+2•5)=3+2•14=31

aber

(3*4)*5=(3*4)+2•5=(3+2•4)+2•5=3+8+10=21

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Wenn du mir sagst was genau du näher eläutert haben möchtest dann mach ich das gerne.

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3*(4*5)=3+2•(4*5)=3+2•(4+2•5)=3+2•14=31
                                                   ^ bei diesem schritt verwirrt mich z.B. die 2. wo kommt sie auf einmal her?

wie ich richtig verstehe ist doch 3*(4*5) die seite x * y, oder?
und 3+2•(4*5) die seite x + 2•y.

müsste dann dort nicht anstatt 3+2•(4*5),    3+(2•4*5) stehen?

tut mir leid, wenn ich mich etwas schwer tue

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wie ich richtig verstehe ist doch 3*(4*5) die seite x * y, oder?
und 3+2•(4*5) die seite x + 2•y.

ja das ist richtig. x=3 und y=(4*5)

und danach macht man das ganze mit x=4 und y=5

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aber besagt das axiom nicht für elemente a,b und c aus Z, dann sit das doch falsch, wenn y=(4*5), sodass auf der seite
x*y kein z exisitert oder?

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Also ich verstehe wieder das Problem nicht,

a=3 b=4 c=5, die sind alle aus Z.

dann muss man die Verknüpfung * anwenden, zuerst die außerhalb der Klammer, dabei ist das eine Element 3 und das andere eben (4*5). Und im zweiten Schritt macht man das ganze nochmal für die Klammer 4*5.

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Okay, mein problem war nur, dass du vorher kein c=5 definiert hast und ich mich die ganze zeit gefragt hab, wo du das hergenommen hast. Aber das ist ja dann geklärt.