Isomorphismus Z/nZ x Z/nZ

Question

ich rechne gerade eine alte Klausur durch und bin über folgende Aufgabe gestolpert:

Für welche Werte von N∪{0} gilt Z/n² Z ≅ Z/nZ x Z/nZ, wobei Z/0Z = Z?

Wäre echt super, wenn mir das jemand erklären könnte ;)

Comments

Hast du schon in deine Unterlagen geschaut, da habt ihr doch bestimmt mal sowas gemacht wie:

Wann ist (Z/nZ) isomorph zu (Z/mZ)x(Z/pZ)? Wenn du das nachvollziehen kannst, sollte die Beantwortung der Frage relativ schnell gehen :).

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Wir haben bei uns im Skript stehen:
Es seien n,m ∈ℕ teilerfremd. Dann ist die Gruppe Z/mZ x Z/nZ isomorph zu Z/nmZ.

Aber n ist ja nicht teilerfremd zu sich selbst.....

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Genau darauf wollte ich abzielen. Übrigens gilt hier eine genau dann wenn Beziehung. Was heißt das also nun für die Aufgabe?

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Tut mir echt leid, ich  weiß einfach nicht, was ich machen soll.

Teilerfremd heißt ja: ggT(n,m) = 1.
Aber der ggT(n,n) = n..... Gilt das dann nur für n = 1 ?

Mit ist klar, dass ich 2 Richtungen zeigen muss:

Sei n ∈ ℕυ{0} fest. Zu zeigen: Z/n²Z ≅ Z/nZ x Z/nZ
Und danach nochmal die umgekehrte Richtung:
Es gelte: Z/n²Z ≅ Z/nZ x Z/nZ. FInde n....

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Ja die einzigen Fälle die du prüfen musst sind n=1 und n=0, da sonst ggt(n,n)=n≥2 gilt. Für n=1 haben ja wir nen trivialen Fall. Was ist aber nun wenn n=0 ist.

Ist \(\mathbb{Z} \simeq \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \) ?

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Nein, das gilt nicht.

Sei z.B. f(x) = (x,1).

Denn Z -> ZxZ ist dann schon nicht surjektiv:
Sei f(n) ∈ ZxZ beliebig und gelte f(n) = f(m). Dann git (m,1) = (n,1) und somit m=n. Widerspruch

Kann man das so machen?

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Hmm, also damit \(\phi: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}^2 \) ein Isomorphismus wäre., müsste gelten

\( \phi(1) = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \).

Aus den Homomorphismus-Eigenschaften lässt sich dann aber herleiten, dass

\( \phi(m) = \begin{pmatrix} m \\ m \end{pmatrix} \).

gelten muss und diese Abbildung ist ja keine Bijektion was du bestimmt selbst nachvollziehen kannst.