R-Vektorräume R^2 und R^3: UVR als Schnittmenge von W1, W2, W3 bestimmen.

Question

Aufgabe:

Wir betrachten die \( \mathbb{R} \)-Vektorräume \( \mathbb{R}^{2} \) und \( \mathbb{R}^{3} \).

a) Gegeben seien die folgenden drei Untervektorräume von \( \mathbb{R}^{3} \) :

\( \begin{aligned} W_{1} &:=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \in \mathbb{R}^{3} ; x_{1}-4 x_{3}=0\right\} \\ W_{2} &:=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \in \mathbb{R}^{3} ; x_{2}-2 x_{3}=0\right\} \\ W_{3} &:=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \in \mathbb{R}^{3} ; x_{1}-2 x_{2}=0\right\} \end{aligned} \)

Bestimmen Sie

\( W= \underset{i \in\{1,2,3\}}{\bigcap} W_{i} \)

und eine Basis von \( W \).

Answer 1

EDIT: Beachte den Kommentar unten. W ist doch grösser.

W1, W2 und W3 sind zweit -, erst- und drittprojizierende Ebenen. Allerdings keine Hauptebenen.

Begriffe: https://de.wikipedia.org/wiki/Normalprojektion#Ausgezeichnete_Geraden_und_Ebenen

Daher schneiden sie sich nur in einem Punkt. Offensichtlich ist (0,0,0) ein gemeinsamer Punkt und daher der Schnittpunkt.

W = {(0|0|0}}

Basis und Dimension des Nullvektorraums vgl. https://de.wikipedia.org/wiki/Nullvektorraum#Basis_und_Dimension

Comments

Schneiden die sich nicht auch an dem Punkt {(4,2,1)}?

Das kam bei mir zumindest nach dem Gauß Algorithmus raus. Oder hat man damit was anderes berechnet?

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Danke für den Hinweis! Da hast du schon richtig gerechnet. {(8,4,2)} geht z.B. auch.

D.h. nun W hat die Basis B= {(4,2,1)} und ist damit eindimensional.

Ich werde mir das geometrisch nochmals überlegen, rechnerisch scheint dein Resultat richtig und logisch.

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Hallo. Ich habe ein paar Fragen zu der gleichen Aufgabe und hoffe, ich darf die hier mal reinwerfen.

Wenn ich das richtig sehe, gibt es ja unendlich viele Lösungen, also unendlich viele Schnittpunkte, weil wir x1, x2, x3 nur voneinander abhängig machen können. Schreibe ich dann einfach: W = {(x1, x2, x3) ∈ R; x1 = 4x3, x2 = 2x3}?

Vor allem habe ich aber Schwierigkeiten mit der Basis. Dass B = {(4, 2, 1)} ist, ist mir klar, ich habe nur Probleme damit, zu zeigen, dass das auch tatsächlich so ist, und eine Begründung bzw. Rechnung wird ja bestimmt erwartet. Wäre sehr dankbar für einen Ansatz hierfür.

:)

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x -4z = 0  (I)

y-2z =0    (II)

x-2y=0     (III)

-------------     (I) -(III)

-4z -(-2y) = 0  | umstellen

2y - 4z = 0       | :2

y - 2z = 0        . Somit ist gezeigt, dass die Information der 2. Gleichung bereits in (I) und (III) drinn ist.

==> es gibt unendlich viele Lösungen.

Die findest du, wenn du parametrisierst.

Sagen wir t = z

(I) ==> x - 4t = 0 ==> x = 4t

(II) ==> y= 2t

Die Lösungsmenge ist

L ={ (4t, 2t,t) = t (4, 2, 1) € R^3 | t € R}

Basis von L kannst du nun auch ablesen.

Hier noch die grafische Illustration. Leider ist E3 nicht ganz so klar zu sehen. Du musst die Skala noch etwas anpassen, wenn du mehr sehen willst.

Stell dir einfach vor, dass E3 die obige Schnittgerade enthält. Nach der Berechnung muss das so sein.

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Du kannst dir gar nicht vorstellen wie dankbar ich bin für deine ausführliche Antwort. Vielen, vielen Dank das war sehr verständlich!

Answer 2

Der Schnitt über die drei UVRe besteht ja aus denjenigen x1,x2,x3, für die alle drei Gleichungen aufgehen => Gauß-Verfahren.