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Sei $$f:\quad { R }^{ 2 }\quad \rightarrow \quad R$$ eine Funktion dr Klasse C1 . Sei $$A\quad =\quad \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$$ eine Matrix über R. Wir definieren $$g:\quad { R }^{ 2 }\quad \rightarrow \quad R$$ durch g(x) = f(Ax). Drücken Sie $$\triangledown g(x)$$ durch partielle Ableitungen von f aus.


Ich habe bisher nur:

$$ f(Ax)=f(\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}*\begin{matrix} x1 \\ x2 \end{matrix})\quad =\quad f(\begin{matrix} ax1+bx2 \\ cx1+dx2 \end{matrix}\quad ) $$


Wie komme ich denn jetzt weiter? Ich habe doch gar keine Abbildungsvorschrift?

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Was ist denn genau eine Funktion der Klasse C^1?

Besteht ein Zusammenhang zu den ähnlichen Fragen? Bsp. https://www.mathelounge.de/234266/gradienten-funktion-durch-partielle-ableitungen-ausrucken ?

Das ist eine Funktion, deren erste partielle Ableitungen alle existieren und stetig sind.

Eine Funktion f ist von der Klasse C1 wenn sie einmal partiell differenzierbar ist und alle partiellen Ableitungen der 1. und 0. (also f selbst) Ordnung stetig sind.

Bei dem Link ist dieselbe Aufgabe, die ich auch noch machen muss. Aber dort rechnet er f(Ax) = Ax, als wäre es die Identität. Davon wird aber nichts in der Aufgabe erwähnt.

habe mich gerade nochmal dran gesetzt und das hier ist meine Lösung, ist etwas kurz und wirkt irgendwie zu einfach^^

$$\triangledown g(x)\quad =\quad \triangledown f(Ax)\quad =\quad \triangledown f(\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} x1 \\ x2 \end{pmatrix})\quad =\quad \triangledown f(\begin{matrix} ax1+bx2 \\ cx1+dx2 \end{matrix})\quad =\quad (\frac { df(\begin{matrix} ax1+bx2 \\ cx1+dx2 \end{matrix}) }{ dax1+bx2 } ,\quad \frac { df(\begin{matrix} ax1+bx2 \\ cx1+dx2 \end{matrix}) }{ dcx1+dx2 } )$$

Nick kann das besser als ich!

Nur eine Frage:

Braucht's da keine inneren Ableitungen a  und c? Oder kommt das noch?

Ich weiß nicht, ob das richtig ist. ich würde das so morgen abgeben ^^

"Nick kann das besser als ich!"
Danke, ich versuch's mal. ;-)

Kennst du die mehrdimensionale Kettenregel? Wenn nicht, schau mal z.B. auf Wikipedia.

Danach ist \(\nabla g(x)=A\cdot \nabla f(Ax)\), also \(\begin{pmatrix}\frac{\partial g}{\partial x_1}(x_1,x_2) \\ \frac{\partial g}{\partial x_2}(x_1,x_2)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}\frac{\partial f}{\partial x_1}(ax_1+bx_2, cx_1+dx_4) \\ \frac{\partial f}{\partial x_2}(ax_1+bx_2, cx_1+dx_4)\end{pmatrix}\)

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