Gradient ermitteln einer Funktion der Klasse C^1 ohne Abbildungsvorschrift

Question

Sei $$f:\quad { R }^{ 2 }\quad \rightarrow \quad R$$ eine Funktion dr Klasse C¹ . Sei $$A\quad =\quad \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$$ eine Matrix über R. Wir definieren $$g:\quad { R }^{ 2 }\quad \rightarrow \quad R$$ durch g(x) = f(Ax). Drücken Sie $$\triangledown g(x)$$ durch partielle Ableitungen von f aus.

Ich habe bisher nur:

$$ f(Ax)=f(\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}*\begin{matrix} x1 \\ x2 \end{matrix})\quad =\quad f(\begin{matrix} ax1+bx2 \\ cx1+dx2 \end{matrix}\quad ) $$

Wie komme ich denn jetzt weiter? Ich habe doch gar keine Abbildungsvorschrift?

Comments

Was ist denn genau eine Funktion der Klasse C^1?

Besteht ein Zusammenhang zu den ähnlichen Fragen? Bsp. https://www.mathelounge.de/234266/gradienten-funktion-durch-partielle-ableitungen-ausrucken ?

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Das ist eine Funktion, deren erste partielle Ableitungen alle existieren und stetig sind.

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Eine Funktion f ist von der Klasse C¹ wenn sie einmal partiell differenzierbar ist und alle partiellen Ableitungen der 1. und 0. (also f selbst) Ordnung stetig sind.

Bei dem Link ist dieselbe Aufgabe, die ich auch noch machen muss. Aber dort rechnet er f(Ax) = Ax, als wäre es die Identität. Davon wird aber nichts in der Aufgabe erwähnt.

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habe mich gerade nochmal dran gesetzt und das hier ist meine Lösung, ist etwas kurz und wirkt irgendwie zu einfach^^

$$\triangledown g(x)\quad =\quad \triangledown f(Ax)\quad =\quad \triangledown f(\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} x1 \\ x2 \end{pmatrix})\quad =\quad \triangledown f(\begin{matrix} ax1+bx2 \\ cx1+dx2 \end{matrix})\quad =\quad (\frac { df(\begin{matrix} ax1+bx2 \\ cx1+dx2 \end{matrix}) }{ dax1+bx2 } ,\quad \frac { df(\begin{matrix} ax1+bx2 \\ cx1+dx2 \end{matrix}) }{ dcx1+dx2 } )$$

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Nick kann das besser als ich!

Nur eine Frage:

Braucht's da keine inneren Ableitungen a  und c? Oder kommt das noch?

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Ich weiß nicht, ob das richtig ist. ich würde das so morgen abgeben ^^

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"Nick kann das besser als ich!"
Danke, ich versuch's mal. ;-)

Kennst du die mehrdimensionale Kettenregel? Wenn nicht, schau mal z.B. auf Wikipedia.

Danach ist \(\nabla g(x)=A\cdot \nabla f(Ax)\), also \(\begin{pmatrix}\frac{\partial g}{\partial x_1}(x_1,x_2) \\ \frac{\partial g}{\partial x_2}(x_1,x_2)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}\frac{\partial f}{\partial x_1}(ax_1+bx_2, cx_1+dx_4) \\ \frac{\partial f}{\partial x_2}(ax_1+bx_2, cx_1+dx_4)\end{pmatrix}\)