Es gilt doch \(\partial f/ \partial u= u \cdot \nabla f\) und entsprechend für \(v\) - damit kannst Du dann folgendes LGS aufstellen
$$\begin{pmatrix} u^T \\ v^T \end{pmatrix} \cdot \nabla f = \begin{pmatrix} \partial f / \partial u \\ \partial f / \partial v \end{pmatrix}$$
$$\begin{pmatrix} 1/\sqrt{5} & 2/\sqrt{5} \\-1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2} \end{pmatrix} \cdot \nabla f = \begin{pmatrix} -1/\sqrt{5} \\ \sqrt{2} \end{pmatrix}$$
Mit der Lösung
$$\nabla f = \begin{pmatrix}-5/3 \\1/3\end{pmatrix}$$
und genauso ist \(\partial_w f = w \cdot \nabla f = -\frac{2}{3} \sqrt{2}\).
Gruß Werner