Gradient bestimmen ohne Funktion zu kennen

Question

Hey:)

Wie bestimme ich hier den Gradienten? Es hieß, dass ich ein LGS machen könnte, aber ich weiß nicht, wie das funktionieren sollte.

Answer 1

Es gilt doch \(\partial f/ \partial u= u \cdot \nabla f\) und entsprechend für \(v\) - damit kannst Du dann folgendes LGS aufstellen

$$\begin{pmatrix} u^T \\ v^T \end{pmatrix} \cdot \nabla f = \begin{pmatrix} \partial f / \partial u \\ \partial f / \partial v \end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} 1/\sqrt{5} & 2/\sqrt{5} \\-1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2} \end{pmatrix} \cdot \nabla f = \begin{pmatrix} -1/\sqrt{5} \\ \sqrt{2} \end{pmatrix}$$

Mit der Lösung

$$\nabla f = \begin{pmatrix}-5/3 \\1/3\end{pmatrix}$$

und genauso ist \(\partial_w f = w \cdot \nabla f = -\frac{2}{3} \sqrt{2}\).

Gruß Werner

Answer 2

Die Richtungsableitung kannst Du berechnen aus

$$ \partial_u f (x_0,y_0) =  f_x(x_0,y_0) \cdot u_1 +  f_y(x_0,y_0) \cdot u_2 $$

Damit kannst Du zwei Gleichungen aufstellen wenn Du das gleiche auch für den Vektor \( v \) machst.