Beweise oder widerlege die lineare Unabhängigkeit von Vektoren

Question

hab zwei Aufgaben, die ich beweisen bzw. widerlegen soll.
Kann einer helfen?

a) Sind die Vektoren a1, a2, a3 ∈ ℝ⁷ linear unabhängig, so sind die Vektoren a1, a1+2*a2, a1+3*a3 ebenso linear unabhängig.

b) Sind die Vektoren a1, a2, a3 ∈ ℝ⁷ linear unabhängig, so sind die Vektoren a1+a2, a2+a3, a1+2*a2+a3 ebenso linear unabhängig.

Comments

Es ist üblicher v1, v2, v3 ... für Vektoren zu verwenden. a1, b1, ... werden eher für Elemente des Körpers, also hier reelle Zahlen verwendet.

Diese Version ist aber eindeutig besser lesbar, als das Bild eben mit den v. https://www.mathelounge.de/236554/aussagen-vektoren-beweisen-widerlegen-lineare-abhangigkeit

Answer 1

Wenn du a1, a2 und a3 mit Hilfe der drei neuen Vektoren ausdrücken kannst, müssen die drei neuen auch linear unabhängig sein.

Bsp.

a) Sind die Vektoren a1, a2, a3 ∈ ℝ⁷ linear unabhängig, so sind die Vektoren a1, a1+2*a2, a1+3*a3 ebenso linear unabhängig. 

a1 = 1*a1

a2 = (-1/2)*a1 + 1/2 * (a1 + 2*a2)

a3 = (-1/3) a1 + 1/3 * (a1 + 3*a2)

Comments

Kannst du mir das eventuell etwas ausführlicher erklären?
Ich verstehe den Part hier nicht:

a1 = 1*a1
a2 = (-1/2)*a1 + 1/2 * (a1 + 2*a2)
a3 = (-1/3) a1 + 1/3 * (a1 + 3*a2)

Wieso darf man das so machen?

Könntest mir dann auch b) erklären?

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Wenn du mit den drei gegebenen Vektoren v1=a1, v2=a1 + 2a2, v3 = a1+ 3a3  alle 3 Basisvektoren ausdrücken kannst, kann man mit ihnen alle Vektoren ausdrücken, die man mit a1, a2 und a3 ausdrücken kann. Daher bilden sie auch eine Basis. 2 Basen müssen ja gleich viele Elemente enthalten.

Suche entsprechende Sätze in deinem Skript. Die Schritte in meiner Antwort sollten dort alle bewiesen sein.

Answer 2

(b)  (a₁ + a₂) + (a₂ + a₃) - (a₁ + 2·a₂ + a₃) = 0. Daraus folgt lineare Abhängigkeit.