Lineare Abhängigkeit oder lineare Unabhängigkeit von Vektoren

Question

Sind die beiden Aussagen wahr oder falsch?

3 Vektoren, K ein Körper
1. (x1,x2,x3,x4), (y1,y2,y3,y4), (z1,z2,z3,z4) Element K^4 sind linear abhängig.
    Die Vektoren (x2,x1,x4), (y2,y1,y4), (z2,z1,z4)Element K^3 auch linear abhängig.

2. (x1,x2,x3,x4), (y1,y2,y3,y4), (z1,z2,z3,z4) Element K^4 sind linear unabhängig.
    Die Vektoren (x2,x1,x4), (y2,y1,y4), (z2,z1,z4)Element K^3 auch linear unabhängig.

Zu 2. hätte ich gesagt dass die Aussage war ist, weil wenn die Gleichungen

λ1x1+λ2y1+λ3z1=0

λ1x2+λ2y2+λ3z2=0

λ1x3+λ2y3+λ3z3=0

λ1x4+λ2y4+λ3z4=0

nur für λ1=λ2=λ3=0 erfüllt sind, dann gilt das auch für die Vektoren in K^3.

Das wie mache ich das bei 1. und wie schreibe ich das formal richtig auf?

Answer 1

Der Anfang deiner Überlegung ist OK:

Zu 2. hätte ich gesagt dass die Aussage war ist, weil wenn die Gleichungen

nur für λ1=λ2=λ3=0 erfüllt sind,

dann gilt das auch für die Vektoren in K³.

Das musst du natürlich aus dem 1. Gleichungssystem herleiten.

Also betrachte :

λ1x2+λ2y2+λ3z2=0

λ1x1+λ2y1+λ3z1=0

λ1x4+λ2y4+λ3z4=0 

Und das enthält ja nicht alle Gleichungen des ersten Systems.

Es kann also sein, dass es hier auch andere Lösungen gibt.

Betrachte etwa:

          λ2          =0

                    λ3=0

   λ1                   =0

                        λ3=0 

Dann gibt es hier nur  λ1=λ2=λ3=0

wenn du aber die 3. Zeile streichst, kann   λ1

beliebig sein.