Summe von unendlichen Reihen bestimmen

Question

Hallo :)

Ich muss die Summe der folgenden Reihen bestimmen, sofern es möglich ist, aber ich komme einfach nicht weiter... Vielleicht könnt ihr mir helfen!

1) Bestimmen Sie die Summe der konvergenten Reihe a_n:

a)  $$\sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ \frac { (n+2)! }{ 2*2^{ n+1 }*(n+1)! }  } =\quad \sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ \frac { n+2 }{ { 2 }^{ n+2 } }  } $$

b)

$$\sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ \frac { n+3 }{ 3^{ n }*(n+1)! }  } =\quad \sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ \frac { n+3 }{ (n-1)!*(n+1)*n*{ 3 }^{ n } }  } =\quad \sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ \frac { 1 }{ { 3 }^{ n }*(n-1)!*(n+1) }  } +\quad \sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ \frac { 1 }{ (n+1)!*{ 3 }^{ n-1 } }  } $$

wenn ihr mir zeigen könntet, wie ich es in Partialsummen zerlegen kann, dann wäre es mir schon eine enorme Hilfe! Aber so bin ich etwas verloren mit dem Aufspalten...

Frosi

Comments

(a)  Zeige z.B. per Induktion über \(N\), dass für die Partialsummen gilt$$\sum_{n=1}^N\frac{n+2}{2^{n+2}}=1-\frac{N+4}{2^{N+2}}.$$

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Hi,

$$ \frac{a+b}{c} = \frac{a}{c} + \frac{b}{c} $$

bei b) hättest du den Zähler vielleicht besser so aufteilen sollen: n+3 = n+1 + 2

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Hallo @Gast :)

Ich kriege es zwar hin, über vollständige Induktion das zu zeigen, aber ich würde gerne wissen, wie du in der Lage warst, sofort diese zwei Partialsummen zu sehen. Wie hast du das Geschafft?

Und @Yakyu

Ich habe meine Summen so aufgeteilt bei a, aber dennoch komme ich nicht weiter in dem Sinne, dass sich quasi eine Teleskopsume bildet - also ich meine, dass sich nichts wegstreicht:

$$\sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ \frac { n+2 }{ { 2 }^{ n+2 } }  } =\quad \sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ \frac { n }{ { 2 }^{ n+2 } }  } +\quad \sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ \frac { 1 }{ { 2 }^{ n+1 } }  } $$

Ich habe auch schon die Summe von 1 bis + ... + n aufgeschrieben, aber ich erkenne kein Muster zum Ausklammern - ein bekannter von mir meinte, dass man die Partialsumme auf einen Blick sehen könnte (es ist die, die mir Gast vor dir hier geschrieben hat, aber da ich das noch nie gelernt habe, würde ich gerne wissen, ob du mir einen Tipp geben kannst?

und zu b)

Es ist im Prinzip genau dasselbe, ich habe jetzt n+3 als n+1+2 dargestellt, wie du es mir geraten hast, aber ich sehe dennoch keine Chance, etwas bei der Summe mehr zusammenzufassen. Ich habe momentan diesen Stand:

$$\sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ \frac { n+3 }{ { 3 }^{ n }*(n+1)! }  } =\quad \sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ \frac { n+1+2 }{ { 3 }^{ n }*(n+1)! }  } =\quad \sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ \frac { 1 }{ { 3 }^{ n }*n! }  } +\quad \sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ \frac { 2 }{ { 3 }^{ n }*(n+1)! }  } $$

Vielleicht sehe ich den Wald einfach vor lauter Bäumen nicht!

Liebe Grüße und danke für die Antworten,

Frosi

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Hi Fros, genau das tust du grade nicht. a) ist in Ordnung von der Aufteilung hat aber absolut nix mit Teleskopsummen zu tun. Hier solltest du die geometrische Reihe und ihre Ableitung erkennen.

zu b) habe ich dir auch schon in deiner anderen Frage geschrieben: Exponentialreihe erkennen! Falls es immer noch nicht klar ist schau in deine Unterlagen und überleg dir was diese Reihen mit

exp(1/3) zu tun haben!

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Hallo Yakyu!!

Erst einmal danke, dass du dir die Zeit für mich nimmst. Ich sitze gerade an der a und habe mich über Geometrische Reihen informiert und ich bin auf dem richtigen Weg, aber mein Ergebnis passt trotzdem nicht ganz! Kannst du mir sagen, wo mein Fehler ist?

Ich habe Gasts Ergebnis vorher umgeformt zu:

$$1\quad -\quad \frac { n\quad +\quad 4 }{ { 2 }^{ n+2 } } \quad =\quad 1\quad -\quad \frac { 1 }{ { 2 }^{ n+1 } } \quad -\quad \frac { n+2 }{ { 2 }^{ n+2 } } $$

Nun habe ich mir folgende Taktik überlegt:

$$Summe\quad s\quad von\quad \sum _{ n\quad =\quad 1 }^{ \infty  }{ \frac { n+2 }{ { 2 }^{ n+2 } }  } \quad \\ s\quad =\quad \frac { 3 }{ { 2 }^{ 3 } } +\frac { 4 }{ { 2 }^{ 4 } } +\frac { 5 }{ { 2 }^{ 5 } } +\frac { 6 }{ { 2 }^{ 6 } } +\frac { 7 }{ { 2 }^{ 7 } } +...+\frac { n+1 }{ { 2 }^{ n+1 } } +\frac { n+2 }{ { 2 }^{ n+2 } } \\ \\ 2s\quad =\quad \frac { 3 }{ { 2 }^{ 2 } } +\frac { 4 }{ { 2 }^{ 3 } } +\frac { 5 }{ { 2 }^{ 4 } } +\frac { 6 }{ { 2 }^{ 5 } } +\frac { 7 }{ { 2 }^{ 6 } } +...+\frac { n+1 }{ { 2 }^{ n } } +\frac { n+2 }{ { 2 }^{ n+1 } } \\ \\ \\ \longrightarrow \quad 2s-s\quad =\quad \frac { 3 }{ { 2 }^{ 2 } } +\frac { 1 }{ { 2 }^{ 3 } } +\frac { 1 }{ { 2 }^{ 4 } } +\frac { 1 }{ { 2 }^{ 5 } } +...+\frac { 1 }{ { 2 }^{ n+1 } } -\frac { n+2 }{ { 2 }^{ n+2 } } \\ \\ \longrightarrow \quad s\quad =\quad \frac { 3 }{ 4 } \quad +\quad \frac { 1 }{ { 2 }^{ n+1 } } \quad -\quad \frac { n+2 }{ { 2 }^{ n+2 } } \\ \\ \\ und\quad das\quad ist\quad sehr\quad ähnlich\quad wie\quad oben:\\ \\ 1\quad -\quad \frac { n\quad +\quad 4 }{ { 2 }^{ n+2 } } \quad =\quad 1\quad -\quad \frac { 1 }{ { 2 }^{ n+1 } } \quad -\quad \frac { n+2 }{ { 2 }^{ n+2 } } \\ $$

ist das komplett falsch? Weil ich meine, dass es der richtige Weg zu sein scheint und dass ich gerade nur einen Denkfehler drinnen habe! An die b setze ich mich jetzt nebenbei und versuche mit deinen Tipps weiterzukommen!

Liebe Grüße

Frosi

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Also ich hab keinen Plan wie du am Ende umgeformt hast. Ob dich das wirklich weiter bringt? Naja nicht wirklich oder? Verstehe nicht warum du nicht die geometrische Reihe verwendest.

Alternativ kannst du auch den Kommentar von Gast  benutzen (per Induktion falls dir das was sagt).