Question

Wie funktioniert die Punktsteigungsform bei den Funktionen?

Dankeeee!

Answer 1

Die Punktsteigungsform ist eine Methode, mit der man die Funktionsgleichung einer linearen Funktion bestimmen kann, wenn man einen Punkt und ihre Steigung kennt.

 

Das funktioniert so:
Die allgemeine Form einer linearen Funktion ist

y=f(x)=m*x+n

 

Bekannt ist nun ein Punkt P(x1|y1) und die Steigung m.

Einzige Unbekannte der Funktionsgleichung ist also der y-Achsenabschnitt n.

Um diesen zu ermitteln setzt man die bekannte Steigung und den Punkt in die Funktionsgleichung ein:

y1 = m*x1+n

und stellt diese Gleichung nach n um.

n = y1 - m*x1

 

Setzt man nun n in die Funktionsgleichung ein, kann man eine allgemeine Gleichung für lineare Funktionen angeben, für die ein Punkt und die Steigung bekannt sind:

y = m*x + y1 - m*x1

y - y1 = m*(x-x1)

Das nennt man die Punkt-Steigungsform, die dann nach y umgestellt werden kann, um die Funktionsgleichung zu erhalten.

Comments

Noch mal zum Nachvollziehen der eine Schritt:

Punkt (x1|y1) ... allgemeine Form: f(x) = y = m*x+n

// n einsetzen nach Umstellen wie oben mit: n = (y1 - m*x1)
y = m*x + (y1 - m*x1)

und umstellen:
y -y1 = m*x - m*x1

// dann m ausklammern
y -y1 = m*(x - x1)

und das ist die Punktsteigungsform, hab es begriffen! :) cool.

Dann kann ich die Steigung ausrechnen, indem ich diese Formel dann :(x - x1) dividiere, youhou!
y -y1 = m*(x - x1) |:(x - x1)
(y -y1):(x - x1)  = m

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Tut mir leid, das nächste Mal kommentiere ich meine Umformungen ein bisschen mehr :)
Aber ja, das ist das, was ich gemacht habe.

Nur noch mal als Anmerkung: An sich benutzt man die Punktsteigungsform dann, wenn man die Steigung bereits kennt.
Hat man nur zwei Punkte, dann verwendet man die Punkt-Punkt-Form, die man genau so erhält, wie du gerade gerechnest hast:

Gegeben: P1(x1|y1), P2(x2, y2)
=>
y-y1 = (y2-y1)/(x2-x1) * (x-x1)

Die Herleitung funktioniert ganz genauso, nur eben, dass dein letzter Rechenschritt noch dazukommt.