Seien v1 := (1; 0; 2), v2 := (0; 1;-1) und v3 := (1; 1; 0) Vektoren in V := R3. Weiter sei ^B die geordnete Standardbasis von V .
1.)Zeigen Sie, dass B^1 := (v1; v2; v3) eine geordnete R-Basis von V ist!
2.)Sei A := (1 0 2)
(0 1 -1) ∈M3x3(R).
(1 1 0)
Lösen Sie die folgenden drei LGS mit dem Gauß-Algorithmus:
x * A = (1; 0; 0), x * A = (0; 1; 0) und x * A = (0; 0; 1).
3.)Stellen Sie die Basiswechselmatrix M(idV ; ^B ;^B1) auf (siehe Teil 2)!
Invertieren Sie dann diese Matrix!
4.Sei α:= V → V eine R-lineare Abbildung, die gegeben ist durch
v1^α:= v1-v2,
v 2^α := -3v3 und
v 3^α := v1+2v3.
Geben Sie die Matrix C :=M(α ;^B1;^B1) an!
5.) Verwenden Sie die vorherigen Aufgabenteile und den Basistransformationssatz, um die Matrix
D :=M(α ; ^B ; ^B)nachvollziehbar auszurechnen!
6.) Berechnen Sie Det(D) mit der Sarrus-Regel (erkennbar)!
7.) Beweisen Sie, dass bijektiv ist.
8.) Berechnen Sie nachvollziehbar die Matrix C^-1.
9.) Erklären Sie, was die Abbildung α^-1 macht!
