Zeigen Sie, dass dann die drei Vektoren linear abhängig sind. (lineare Unabhängigkeit)

Question

Aufgabe Lineare Unabhängigkeit II:

Seien \( P_{1}, P_{2}, P_{3}, P_{4} \) vier Punkte auf einer Ebene \( E \) im dreidimensionalen Raum \( \mathbb{R}^{3} \), von denen keine drei auf einer gemeinsamen Geraden liegen, und \( \overrightarrow{v_{1}}, \overrightarrow{v_{2}}, \overrightarrow{v_{3}}, \overrightarrow{v_{4}} \) die zugehörigen Ortsvektoren.

Zeigen Sie, dass dann die drei Vektoren \( \vec{w}_{1}=\vec{v}_{1}-\vec{v}_{4}, \vec{w}_{2}=\vec{v}_{2}-\vec{v}_{4} \) und \( \vec{w}_{3}=\vec{v}_{3}-\overrightarrow{v_{4}} \) linear abhängig sind.

Beweisen bedeutet, die Definitionen wie z.B. die Punktrichtungsgleichung einer Ebene zu verwenden. Anschauliche oder rein verbale Erklärungen sind nicht gefragt.

Answer 1

Punkt-Richtungs-Gleichung der Ebene durch  P2,P3;P4 lautet:

x = v4 + r*(v2-v4) + s*(v3-v4)

Da P1 in der Ebene liegt, gibt es r und s aus IR mit

v1 = v4 + r*(v2-v4) + s*(v3-v4)

also

0-Vektor = v4-v1 + r*(v2-v4) + s*(v3-v4)

Dies ist eine Darstellung des Nullvektors duch

w1, w2, w3 mit mindestens einem Koeffizienten

(nämlich der von w1 ist 1  ) ungleich 0,

also sind die Vektoren lin. abh.