Kreisgleichung. Schnittpunkte Kreis - Gerade g: X = (2/1) +s*(3/-4)

Question

Aufgabe Analytische Geometrie:

Gegeben ist der Kreis \( k: x^{2}+y^{2}+12 x+10 y-64=0 \) und die Gerade \( g: X=(2 / 1)+s \cdot(3 /-4) \).

a) Bestimmen Sie Mittelpunkt und Radius des Kreises und berechnen Sie die Schnittpunkte \( \mathrm{S}_{1}, \mathrm{~S}_{2} \) und den Schnittwinkel zwischen Kreis und Gerade. Zeigen Sie anhand einer Skizze, wie der Winkel zwischen Gerade und Kreis definiert ist.

Lsg.: \( \mathrm{S}_{1}(5 /-3), \mathrm{S}_{2}(-1 / 5), \mathrm{M}(-6 /-5) \)

b) Berechnen Sie den Normalabstand der Gerade vom Kreismittelpunkt und benutzen Sie dieses Ergebnis um den Flächeninhalt des Dreiecks \( M S_{1} S_{2} \) zu bestimmen.

c) Berechnen Sie den Winkel \( \angle \mathrm{S}_{1} \mathrm{MS}_{2} \) und kontrollieren Sie mithilfe des Winkels und der trigonometrischen Flächenformel das obige Ergebnis.

Comments

UIch hätte es gerne mit der abstandsformel gerechnet

Also d=betrag AM.no

M ist mir klar A ist ein punkt auf der geraden

Kann ich da als A den Stützvektor der Geraden (2/1) nehmen?

No den Richtungsvektor mit 1durch den Betragx den Vektor?

Wäre halt wichtig was A in der Formel und No ist,bzw. wie ich die erhalte

Danke

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Eigentlich solltest du das doch in meiner Formel ablesen können oder nicht ?

Ich kenne zwar eure Formel nicht aber sie müsste ja eventuell so ähnlich sein wie meine.

Answer 1

b) Ist in erster Linie der Abstand zwischen einem Punkt un einer Geraden

ABS(([-6, -5] - [2, 1]) · [4, 3]) / ABS([3, -4]) = 10

1/2·ABS([-1, 5] - [5, -3])·10 = 50

c)

MS1 = [5,-3] - [-6,-5] = [11, 2]
MS2 = [-1,5] - [-6,-5] = [5, 10]

α = ARCCOS([11, 2]·[5, 10]/(ABS([11, 2])·ABS([5, 10]))) = 53.13 Grad

Comments

Ich bräuchte bitte hilfe beim einheitsnormalvektor bestimmen no

Von (3/-4)

Danke

Bei deiner antwort b ist da gemeint :(3,-4)?

Beim vorderen teil kommt mir da -24+24 raus also 0 und wie komm ich dann auf die 10?

Bei der Fläche soll laut der Lösung 50 rauskommen :(

Danke dir

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Stimmt. Ich hatte bei der Fläche den Faktor 1/2 vergessen.

Der Normalenvektor zu [3, -4] ist [4, 3].

Der Normalenvektor zu [x, y] ist ± [y, -x].

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Ich änder das mal so wie du es kennst.

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Danke jetzt hab ichs :)

Wusste nicht das ABS der Betrag ist

Answer 2

Hier ist ganz typisch quadratische Ergänzung gefordert.

F ( x ; y ) := x ² + 12 x + y ² + 10 y = 8 ²  | + 36   ( 1a )

( x + 6 )  ²  + y ² + 10 y =10 ² | + 25   ( 1b )

( x + 6 ) ²  + ( y + 5 ) ² = 5 ² * 5   ( 1c )

Kreisdaten: Mittelpunkt ( x0 | y0 ) = - ( 6 | 5 ) ;  Radius R = 5 sqr ( 5 )

Ich glaube wir können einen wesentlichen Vorteil aus der komplexen Darstellung ziehen. In Komplex lautet die Gerade

g ( t ) = ( 3 - 4 i ) s +  2 + i    ( 2a )

Kreismittelpunkt

z0 =  - ( 6 + 5 i )    ( 2b )

g - z0 =  ( 3 - 4 i ) s  +  2 ( 4 + 3 i ) ( 2c )

| g - z0 | ² = | 3 - 4 i | ² s ²  + 4 | 4 + 3 i | ² +  4 Re ( 3 - 4 i ) ( 4 - 3 i )  s  =  ( 3a )

= 25 ( s ²  + 4 ) = 125 ====> s1;2 =  -/+ 1    ( 3b )

An Hand der Geradengleichung ergibt das die Schnittpunkte

P1 =  ( - 1 | 5 ) ;     P2 =  ( 5 | - 3 )    ( 4 )   ; beide okay

Dann müsste aber rein theoretisch der Punkt des größten senkrecht Stehens der aritmetische Mittelwert t = 0 sein; d.h. er war uns schon vorgegeben.  Wir hatten in ( 2c ) gesagt

a  = Startvektor = 2 + i ; a - z0 = 2  ( 4 + 3 i )   ( 5a )

Richtungsvektor der Geraden t = ( 3 - 4 i )    ( 5b )

8 a - z0 ) / t = ( 4 + 3 i ) / ( 3 - 4 i ) = ( 5c )

= ( 4 + 3 i ) ( 3 + 4 i ) = 24 i = rein imaginär    ( 5d )

und die imaginäre Einheit " i "  bedeutet immer einen rechten winkel.