Welche Zahlen müssen für a und b eingesetzt werden damit sie parallel oder identisch sind?

Question

folgendes Gleichungssystem:

I: ax - 2y = -1

II: 3x + 4y = b

Welche Zahlen müssen nun für a & b eingesetzt werden damit die Lösungen identisch oder parallel sind? Mein Lehrer hat im Unterricht gesagt man braucht für solche Aufgaben den Reziprokewert (Kehrwert). Danach kam ich einfach nicht mehr nach mit der Aufgabe. Ich freue mich über Antworten wenn es erklärt wird bitte nicht zu kompliziert!

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Was meinst Du genau? Sollen die Werte \( a \) und \( b \) so gewählt werden, das die Lösungen \( x \) und \( y \) identisch werden? Und was meinst Du mit parallel?

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Wenn man die Gleichung grafisch darstellt dann gibt es bei parallel keine Lösung da sich die Geraden nicht schneiden. Bei identisch sind beide Geraden an der selben Stelle daraus folgen unendliche Lösungen. Ja, genau ich muss herausfinden was ich für a und b einsetzen muss. Ich brauche aber beide Lösungsfälle

Answer 1

Hi,
einmal bekommst Du doch
$$  y = \frac{a}{2}x+\frac{1}{2} $$ und $$  y = -\frac{3}{4}x+\frac{b}{4} $$ heraus. Parallel und nicht identisch sind die Geraden wenn die Steigungen gleich sind aber die Achsenabschnitte verschieden. Parallel und identisch sind die Geraden, wenn die Steigungen und die Achsenabschnitte gleich sind. Und genau eine Lösung bekommst Du, den die Steigungen verschieden sind, weil dann die Geraden nicht mehr parallel sind und sie sich deshalb schneiden.

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Das kann man doch auch ohne Umformung auf eine Variable lösen, oder? Ich kann daraus noch nichts deuten da ich ja MÖCHTE dass die I Gleichung parallel zur II Gleichung ist. Ich darf aber die Gleichung nicht verändern. Nur für a und b einsetzen

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Danke Dir vielmals für deine Bemühungen! Ich hab es nun verstanden!

Answer 2

Antwort; es hängt allein an der sog. ===> Determinante . Und die ist  in unserem Fall

det = 4 a + 6 = 0 | : 2

2 a + 3 = 0 ===> a = ( - 3/2 )

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Aus was errechnet sich die Determinante?

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Ich habs endlich verstanden! Tausend Dank! :-)

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sieh mal hier

https://www.mathelounge.de/237397/sperrung-von-mitglied-godzilla#c238280

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Wegen deiner Rückfrage; alles was ich einem Schüler erklären kann: Die Determinanter aus zwei Vektoren ist gleich dem Flächeninhalt des von ihnen aufgespannten Parallelogramms. Die Determinante ist genau dann null, wenn die beiden Vektoren ===> kolinear, also ===> linear abhängig sind.

Noch Fragen? Gerne.

Answer 3

Zusammfassung des Schriftwechsels

I: ax - 2y = -1

II: 3x + 4y = b

Es soll sich um 2 Geraden handeln.
Wann sind diese parallel und wann identisch ?

ax - 2y = -1
2y = a * x +1
y = a/2 * x + 1/2

3x + 4y = b
4y = b - 3x
y = - 3/4 * x + b / 4

I : y = a/2 * x + 1/2
II : y = - 3/4 * x + b / 4

Parallel : die Steigungen sind gleich

a/2 = -3/4
a = - 6 / 4 = - 3 / 2
a = - 3 / 2
Falls a = -3 / 2 sind die Geraden parallel.

Identisch : die Steigungen sind gleich und der
y-Achsenabschnitt ist gleich
1 /2 = b / 4
b = 4 / 2 = 2
b = 2
a = - 3 / 2

y = - 3/4 * x + 1 / 2