4 Vektoren vom Mittelpunkt zu den Ecke eines Tetraeders

Question

Wie kann man die normierten Vektoren $$ \overrightarrow{A},  \overrightarrow{B},  \overrightarrow{ C} ,  \overrightarrow{D} $$ schreiben, die auf die 4 Ecken eines völlig gleichmäßigen Tetraeders zeigen, wenn der Koordinatenursprung genau im Mittelpunkt des Tetraeders liegt.

Ihr könnt ohne Einschränkung $$ \overrightarrow{A} = \begin{pmatrix}1\\ 0 \\ 0\end{pmatrix} $$ wählen und von mir aus, dass $$ \overrightarrow{B} \in    \begin{pmatrix}1\\ 0 \\ 0\end{pmatrix} \mathbb{R}+  \begin{pmatrix}0\\ 1 \\ 0\end{pmatrix}  \mathbb{R} $$ also x-y Ebene liegt.

Ist mir im Prinzip aber egal, ich brauch bloß irgendeine Darstellung.

Answer 1

Das mit dem Mittelpunkt interpretiere ich jetzt mal
als Mittelpunkt der Umkugel des Tetraeders, deren
Radius ist    a*wurzel(6) / 4   wenn a die Tetraederseite ist.

Das Tetraeder hat Höhe h=(a/3)*wurzel(6) und wenn A die Spitze ist
und BCD in einer zur Ebene parallelen Ebene liegen, hat diese
den Abstand  =(a/3)*wurzel(6)  -     a*wurzel(6) / 4  = a*wurzel(6) / 12
vom Nullspunkt, ist also auf dem Niveau von z = - a*wurzel(6) / 12   .

Damit hätte A die KOO ( 0 ;  0  ;  a*wurzel(6) / 4  )
und der Schwerpunkt (Mittelpunkt) der Grundfläche wäre
M ( 0 ;  0  ;  - a*wurzel(6) / 12  )
wäre dann vielleich B auf der positiven x-Achse, dann wäre die x-Koordinate
von B gleich dem Umkreisradius der Grundfläche also a*wurzel(3) / 3
also  B = (  a*wurzel(3) / 3 ; 0 ; - a*wurzel(6) / 12 )
und dann gegen den Uhrzeiger weiter zu C und D gibt
C =   (  - a*wurzel(3) / 6 ; a/2  ; - a*wurzel(6) / 12 )   und
D =   (  - a*wurzel(3) / 6 ; - a/2  ; - a*wurzel(6) / 12 )
Die Ortsvektoren von ABCD sind alle gleich lang, da sie
vom Mittelpunkt der Umkugel zu einer Ecke zeigen. Die muss
man jetzt nur noch normieren, also alle durch a*wurzel(6) / 4
teilen, das gibt
Einheitsvektor in Richtung 0A wäre  (0;0;1)
Einheitsvektor in Richtung B wäre  1/ ( a*wurzel(6) / 4 )    *   (  a*wurzel(3) / 3 ; 0 ; - a*wurzel(6) / 12 )
                                                              = ( 2wurzel(3)/3 ;  0  ; -1/3 )
etc.

Answer 2

Wenn es dir im Prinzip egal ist dann verwende einfach die normierten 4-Eckpunkte die auf einem Würfel liegen:

A = 1/√3·[1, 1, 1]

B = 1/√3·[-1, -1, 1]

C = 1/√3·[1, -1, -1]

D = 1/√3·[-1, 1, -1]

Nützliche Hinweise zum Tetraeder:

https://de.wikipedia.org/wiki/Tetraeder