Integral mit Partialbruchzerlegung berechnen

Question

Wie berechnet man dieses Integral mit Partialbruchzerlegung?

\( \int \frac{\mathrm{d} x}{x\left(\ln (x)^{2}+\ln (x)-6\right)} \)

Ansatz/Problem:

Ich kann irgendwie nicht den Nenner in Linearfaktoren zerlegen. Ich habe versuch ln x mit y zu substituieren und danach die quadratische Gleichung zu lösen. Dann komme ich auf (x-0), (ln x +2), (ln x-3)  aber das hilft nicht:/

Comments

Wie kommst du darauf, das mit Partialbruchzerlegung lösen zu wollen?

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Durch Substitution y:=ln(x) erhältst du $$\int \frac{dy}{y^2+y-6}$$ und das sieht doch schon viel eher nach Partialbruchzerlegung aus. ;)

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Das steht in der Aufgabe. Und sogar wenn es mit einfacher Substitution geht, dann wie wir mit x im Nenner umgehen könnten? ist es ln x=y und x =e^y?

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$$y:=ln(x) \quad \quad \frac{dy}{dx}=\frac{1}{x} \quad \Leftrightarrow \quad dx = x \ dy$$ Alles Einsetzen in dein Integral: $$\int \frac{x \ dy}{x(y^2+y-6)} = \int \frac{dy}{y^2+y-6} $$ Das meinte ich. Durch Partialbruchzerlegung erhältst du dann $$ \int \frac{dy}{5(y-2)} + \int - \ \frac{dy}{5(y+3)} $$ Denke der Rest ist klar? Diese 1/5 bzw. -1/5 vor das Integral ziehen, das Integral ist dann der Logarithmus. Am Ende noch resubstituieren.

Answer 1

Hallo

1. Substituiere : z= ln(x)

-------<int (1/(z^2+z -6)) dz

2. quadr. Ergänzung

=int (1/(z +1/2)^2 -25/4) dz

3.Substitution

v= z +1/2

das Ganze führt zum arc  tan (h) Integral

Lösung:

-2/5 arc tan(h)( (2 ln(x)/5 +1/5) +C

PS: Wenn es in der Aufgabe steht , mit PBZ , mußt Du es auf diesem Weg machen

:-)