Wie kann ich folgende Mengen in der gauß'schen Zahlenebene darstellen?

Question

Muss ich die gegebene Menge erstmal umformen ?

\( =\{z \in \mathbb{C} || z-3|=2| z+3 | \} \)

Answer 1

|x + y·i - 3| = 2·|x + y·i + 3|

√(x^2 - 6·x + y^2 + 9) = 2·√(x^2 + 6·x + y^2 + 9)

x^2 - 6·x + y^2 + 9 = 4·(x^2 + 6·x + y^2 + 9)

x^2 - 6·x + y^2 + 9 = 4·x^2 + 24·x + 4·y^2 + 36

3·x^2 + 30·x + 3·y^2 + 27 = 0

x^2 + 10·x + y^2 + 9 = 0

x^2 + 10·x + 25 + y^2 = 16

(x + 5)^2 + y^2 = 16

Das ist ein Kreis um (-5 | 0) mit dem Radius 4.

Comments

Großes Dankeschön für die Mühe !!!

Ich habe allerdings noch eine Rückfrage.

Und zwar die Schritte Schritte konnte ich so gut wie alle Nachvollziehen . Bei drei Punkten habe ich es aber nicht ganz verstanden.

1. Von |x + y·i - 3| = 2·|x + y·i + 3|

Zum √(x² - 6·x + y² + 9) = 2·√(x² + 6·x + y² + 9)

Das was ich hier sehe dass Sie im ersten Term etwas quadriert haben. daher die +9 und x^2. Mir ist dieser Schritt noch nicht ganz klar wie ich auf 6 x kommen könnte. Und im zweiten Term müsste wie es aussieht der selbe Schritt durchgeführt worden sein wie im ersten.

2. Von √(x² - 6·x + y² + 9) = 2·√(x² + 6·x + y² + 9)

Zum  x² - 6·x + y² + 9 = 4·(x² + 6·x + y² + 9)

Hier sehe ich, dass die Wurzel weg genommen wurde. Wie verhällt sich das mit der 2 und der 4 ?

Ich hätte an dieser Stelle gedacht dass die 2 bleibt.

3.

Von : x² + 10·x + y² + 9 = 0

Zu:  x² + 10·x + 25 + y² = 16

Hier wurde  mit 16 addiert. Warum muss das gemacht werden ?

Danke in Voraus.!!

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|a + bi| = √(a^2 + b^2)

 |x + y·i - 3| = |(x - 3) + y·i| = √((x - 3)^2 + y^2) = √(x^2 - 6x + 9 + y^2)

√(x² - 6·x + y² + 9) = 2·√(x² + 6·x + y² + 9)

Beide Seiten Quadrieren

√(x² - 6·x + y² + 9)^2 = 2^2·√(x² + 6·x + y² + 9)^2

(x² - 6·x + y² + 9) = 4·(x² + 6·x + y² + 9)

x^2 + 10·x + y^2 + 9 = 0

x^2 + 10·x + y^2 = - 9

Quadratische Ergänzung

x^2 + 10·x + 25 + y^2 = - 9 + 25