Häufungspunkte, Limes inferior und superior von an = n/m - [n/m] mit einem festen m ∈ ℕ

Question

Hallo kann mir jemand helfen...

a_n = n/m - [n/m] mit einem festen m ∈ ℕ

die Gaußklammer [x] ist die größte ganze Zahl kleiner gleich x

Comments

Schon eigene Gedanken zur Folge gemacht?

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also ich hab mal was probiert aber es sieht komisch aus ^^

a_n  = n/m - [n/m] = (s*m+t)/m - [(s*m+t)/m] für s,t ∈ ℕ₀ , t < m<

= s+ t/m - [ (s*m)/m + t/m] = s + (t/m) - s + [t/m] = t/m

damit gilt dann: A :={a_n : n ∈ ℕ₀ } = { (t/m): 0≤ t < m, t ∈ ℕ₀ }

a_n=n/q-[ n/q ]=(s*q+t)/q-[ (s*q+t)/q ] fuer s,t \el \IN_0, t < q
=s+t/q-[ (s*q)/q+t/q ]=s+t/q-s+[ t/q ]=t/q

Damit gilt dann: A := menge(a_n : n \el \IN_0)=menge(t/q :0<=t<q,t\el\IN_0)

 \forall n >= q: a_n=a_(n-q)

 stimmt glaub nicht...

 \forall n >= q: a_n=a_(n-q)

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des obere ist irgendwie ein fehler...

a_n  = n/m - [n/m] = (s*m+t)/m - [(s*m+t)/m] für s,t ∈ ℕ₀ , t < m

= s+ t/m - [ (s*m)/m + t/m] = s + (t/m) - s + [t/m] = t/m

damit gilt dann: A :={a_n : n ∈ ℕ₀ } = { (t/m): 0≤ t < m, t ∈ ℕ₀ }

Answer 1

Sieht doch schonmal gar nicht so übel aus. Die folge nimmt also periodisch immer nur dieselben m Werte an. Was wäre demnach lim inf und lim sup?

Comments

limf in wäre dann 0 und limf sup wäre dann ∞ oder nicht?

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Das mit der 0 hast du korrekt geschlossen, aber warum unendlich? Es gibt doch einen größten Wert der immer wieder angenommen wird ;)

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aber wenn es nicht unendlich ist... was ist es dann also lim sup?

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Das Maximum deiner Menge A

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ja des weiß ich schon, dass es des Maximum ist.

aber wenn ich 0 als Minimum hab was hat dann Maximum als konkreten wert

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Es wäre \( \limsup \limits_{n \to \infty} a_n = \frac{m-1}{m} = 1 - \frac{1}{m} \)

....

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kann man dann nicht sagen das lim sup = 1 weil des nähert sich ja immer 1 an dann

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Nein tut es nicht der Wert ist konstant, da \(m\) fest gewählt ist !

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also schreib ich das lim sup = 1-1/m ist