Folgende Aussagen zu Körpern, Dimensionen und Funktionen sollen bewiesen werden:

Question

1)

Seien \(V,W\) endlichdimensionale Vektorräume über einem Körper \(K\) mit \(dimV = dimW\) und \(F : V → W\) linear. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:
a)       \(F\) ist injektiv.
b)       \(F\) ist surjektiv.
c)       \(F\) ist bijektiv.

2)

Seien \(V,W\) endlichdimensionale Vektorräume über einem Körper \(K\). Dann sind folgende Aussagen äquivalent:
a)      Es gibt einen Isomorphismus \(F : V → W\).
b)      Es gilt \(dim V = dimW\)

Comments

Was sind denn deine bisherigen Ideen? Diese Aufgaben lassen sich relativ kurz beantworten.

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Ich würde ein Beispiel nehmen. Also ein Vektoraum mit unbekannten als Variabeln nehmen, und dann die Teilaufgaben berechnen. Wäre dies möglich?

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"Vektoraum mit unbekannten als Variabeln"
Versteh ich nicht wirklich. Wenn du aber darauf hinaus willst ein konkretes Beispiel zu berechnen wirst du wohl kaum die Allgemeinheit der Aussage zeigen können. Oder meinst du was anderes? Als Alternative solltest du dir vielleicht nochmal die Dimensionsformel anschauen.

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...darauf hinaus willst ein konkretes Beispiel zu berechnen...

ja, leider meinte ich dass. Aber da das so wohl nicht geht werde ich es anders probieren.

Aber danke für den Hinweis, hätte ich sonst so versucht.

Answer 1

sei \( (v_1, \dots, v_n) \) eine Basis von \( V \). Wenn \( F \) injektiv ist, dann ist \( (F(v_1), \dots, F(v_n)) \) eine Basis von \( W \) (da es sich um \( n \) linear unabhängige Vektoren in \( W \) handelt) und folglich \( F(V) = W \) und damit \( F \) surjektiv und damit bijektiv.

Sei \( F \) surjektiv und \( (w_1, \dots, w_n) \) eine Basis von \( W \). Dann gibt es \( (v_1, \dots, v_n) \) in \( V \), sodass \( w_i = F(v_i) \). Wären diese \( v_i \) linear abhängig, so würde die lineare Abhängigkeit der \( w_i = F(v_i) \) folgen. Daher sind sie linear unabhängig und aufgrund ihrer Anzahl (\( n \)) eine Basis von \( V \). Es folgt, dass der Kern von \( F \) gleich Null ist. Daher ist \( F \) injektiv und somit bijektiv.

Aus der Bijektivität folgt per Definition sowohl die Injektivität als auch die Surjektivität von \( F \).

Für zwei endlichdimensionale Vektorräume \( V, W \), für die es einen Isomorphismus \( F \) mit \( F(V) = W \) gibt, gilt, dass für eine Basis \( B \) von \( V \) die Menge \( F(B) \) eine Basis von \( W \) ist. Beide Basen haben die gleiche Anzahl von Elementen (also stimmen die Vektorraumdimensionen überein).

Schöne Grüße

Mister