Funktion 3. Grades ermitteln

Question

Von einer Funktion 3. Grades sind bekannt:

P₀ (0/0)

eine Nullstelle bei x=6

der Wendepunkt, der in P₀ liegt dessen Wendetangente den Anstieg m=2 hat.

Wie lautet die Funktion?

Comments

Was hast DU selber  bereits als Ansatz erkannt ?

LG B.

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also ich habe 2 Ableitungen gebildet und die Grundform f_(x)=ax³+bx²+cx+d aufgestellt.

Dann weiß ich das ich

1.)   f_(x)= 0 = Grundform mit 0 einsetze (normaler Punkt)

2.)  f_^´(x)= 6 = 1. Ableitung mit 0 einsetze

3.)  f´´_(x)= 0 = 2. Ableitung mit 0 einsetze

Bekomme einmal d=0 und einmal b=0 raus...weiter komme ich nicht.

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Hmm irgendwie nicht ganz richtig was du schreibst.

1.)   f_(x)= 0 = Grundform mit 0 einsetze (normaler Punkt) ja das passt

2.)  f_^´(x)= 6 = 1. Ableitung mit 0 einsetze nicht richtig. Es gilt: f'(0)=2

3.)  f´´_(x)= 0 = 2. Ableitung mit 0 einsetze nicht richtig. Es gilt: f''(0)=0

Ausserdem f(6)=0

Sind insgesamt 4 Bedingungen.

Answer 1

Die Funktion heißt y=ax^3+bx^2+cx+d

d=0 wegen P(0/0)

Nullstelle verwenden:

y=216a+36b+6c = 0

Die erste Ableitung heißt

y' = 3ax^2 + 2bx + c

y'' = 6ax + 2b

Da der Punkt P(0/0) eine Wendestelle ist, ist die zweie Ableitung da Null:

0=2b

b=0

Die erste Ableitung an der Stelle (0/0) ist 2:

2 = c

zurück zum Anfang:

216a + 6*2 = 0

a = -1/18

Damit heißt die Funktion y = -1/18 x^3 + 2 x

Comments

Warum ist f´₍₀₎ = 2 ? Ich habe doch in keinem Punkt die Koordinate 2 gegeben?

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f ´( 0 ) = 2 bedeutet : die Steigung ist 2

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Dankeschön, das erklärt einiges.

Answer 2

Die Zusammenfassung der Diskussionen

P₀ (0/0)
eine Nullstelle bei x=6
der Wendepunkt, der in P₀ liegt dessen Wendetangente den Anstieg m=2 hat.
y=ax³+bx²+cx+d

f ( 0 ) = 0 => d = 0
f ( x ) = ax³ + bx² + cx

f ( 6 ) = 0
f ´( 0 ) = 2  | Steigung ist 2
f ´´ ( 0 ) = 0  | Krümmung ist 0

f ( x ) = -1/18 * x^3 + 2 * x

Answer 3

Von einer Funktion 3. Grades sind bekannt: P(0|0), eine Nullstelle bei x=6, der Wendepunkt, der in P liegt und dessen Wendetangente den Anstieg m=2 hat.

Da eine ganzrationale Funktion dritten Grades immer symmetrisch zu ihrem Wendepunkt ist, ist die vorliegende Funktion symmetrisch zum Ursprung. Somit muss \(x=-6\) eine weitere - die dritte - Nullstelle sein. Damit sind alle drei möglichen Nullstellen bekannt und es bietet sich ein Linearfaktoransatz an:

$$ f(x) = a(x+6)x(x-6) $$Der lässt sich so schreiben und ableiten:

$$ f(x) = a\cdot\left(x^3-36\cdot x\right) \\ f'(x) = a\cdot\left(3\cdot x^2-36\right) \\ $$Weiter folgt mit \(f'(0)=2\) noch \(a=-1/18\) und es ist

$$ f(x) = \frac { 36x-x^3 } { 18 } $$eine Gleichung der gesuchten Funktion.