Zeige Konvexität der Funktion f auf Menge D. Tipp: Epigraphen epi f und epi f_(k) betrachten.

Question

Aufgabe:

Seien \( D \subset \mathbb{R}^{n} \) eine konvexe Menge und \( f_{1}, \ldots, f_{m}: D \rightarrow \mathbb{R} \) konvexe Funktionen auf \( D \).

Zeigen Sie, dass \( f=\max \left\{f_{1}, \ldots, f_{m}\right\} \) konvex auf \( D \) ist. Ist auch \( g=\min \left\{f_{1}, \ldots, f_{m}\right\} \) auf \( D \) konvex?

Tipp: Betrachten Sie die Epigraphen epi \( f \) und epi \( f_{k} \).

Answer 1

Eine Funktion auf einer konvexen Menge ist genau dann konvex, wenn ihr Epigraph konvex ist.
Wie hängen der Epigraph von \(f\) und die Eipgraphen von \(f_k\) zusammen? Wenn du das weißt, bist du schon fast fertig.

Comments

Ich weiß ehrlich gesagt nicht, wie die Epigraphen aussehen...

Die Epigraphen sind die Punkte über oder unter einer Geraden. Die Frage war eher wie es auf mein Beispiel anzuwenden ist.

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"Die epigraphen sind die Punkte über oder unter einer geraden."
Nein; und solange du nicht weißt, was Epigraphen sind, hat es keinen Sinn, hier weiterzumachen.

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Ich habe diese Aufgabe  auch zu bearbeiten  und hatte folgende Idee . Aber gilt dieser Ansatz nicht sowohl für f wobei f das max{...} als auch für g wobei g das min {...} . Könnten sie sich das Vielleicht anschauen und mir einen Tipp geben ? 

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Erst schreibst du \(x_1, x_2\in\operatorname{epi} f\), und dann \(f(x_1)\) bzw. \(f(x_2)\). Das kann nicht funktionieren; \(f\) ist nur für Punkte aus \(D\) definiert, und \(x_1\) bzw. \(x_2\) sind keine Punkte aus \(D\).

Hast du mal über die Frage in meiner obigen Antwort nachgedacht? Das ist eigentlich schon die Lösung für die Aufgabe.

(Wenn du nicht draufkommst, zeichne dir für \(n=1\) ein paar konvexe Funktionen auf und das Maximum davon. Wenn du dir dann die Epigraphen anschaust, sollte dir etwas auffallen, was du dann für beliebiges \(n\) beweisen kannst.)

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Ja das stimmt , da hast du Recht, aber im Allgemeinen sind doch x₁ und x₂ aus D , weil x_{1 und} x₂ sind doch ELemente vom epi f  und da werden doch auch nur Elemente aus D betrachtet deren Funktionswerte kleiner sind als ein t wobei t ∈ℝ ist. Oder hab ich da ein Denkfehler ? Zu deiner Frage : Naja eingentlich müsste ja der Epigraph von f eine Teilmenge von dem Epigraph von fk sein oder?Aber nicht jede Teilmenge einer konvexen Menge ist ja konvex, sondern nur wenn es eine Vebindunglinie zwischen zwei Puntken  gibt die stets  auf oder über dem Graphe liegt , aber genau das wollte ich doch zeigen da ;) 

Okay das mit dem Zeichnen probiere ich mal ,;)

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8kay so wie ich es eben geschrieben  hatte funktioniert  es nicht das habe ich nun auch bemerkt  aber so müsste es doch stimmen. aber ich probiere das mit dem Zeichen nochmal 

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Ein Element aus \(\operatorname{epi} f\) kann nie aus dem Definitionsbereich von \(f\) sein. Wenn z.B. \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) ist, dann ist \(\operatorname{epi} f\) eine Teilmenge von \(\mathbb{R}^2\), also sozusagen "eine Dimension höher".

Der Epigraph von \(f\) ist eine Teilmenge der Epigraphen der Funktionen \(f_k\), richtig. Aber man kann noch mehr sagen, was du vielleicht an deiner Zeichnung erkennst. ;-)

Zu dem eingescannten Bild: Die drittletzte Zeile stimmt nicht (\(x\) und \(y\) sind ja Elemente aus \(D\), die Summe kann also nicht in \(\operatorname{epi}f\) enthalten sein). Da muss stehen \(ax_1+(1-a)x_2\in\operatorname{epi}f\). Sonst ist es richtig.