Bestimmtes Integral von 1/x * arctan((lnx)^3) berechnen mit Grenzen 1/a und a.

Question

Das folgende bestimmte Integral ist zu lösen:

\( \int \limits_{1 / a}^{a} \frac{1}{x} \arctan \left((\ln x)^{3}\right) d x \) mit \( a>0 \).

Comments

Deine Symmetrieüberlegungen im Kommentar stimmen vermutlich.

Vgl. auch https://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate++%281%2Fx%29+*+arctan%28%28ln%28x%29%29%5E3%29+from+%281%2F3%29+to+1

Mit Zahlen kannst du das dort einfach austesten.

Vielleicht helfen dir bei der Begründung einfache Logarithmengesetze, wie

ln(1/x) = -ln(x) und Kenntnisse des arctan: https://reference.wolfram.com/language/ref/ArcTan.html

Answer 1

Hier mal ein Anfang , das Integral mußt Du nun über Partialbruchzerlegung lösen.

Comments

An sich ein guter Ansatz, jedoch ist die Partialbruchzerlegung in diesem Fall relativ kompliziert.Setzt man für a irgendeinen wert ein so kommt immer als Fläche 0 raus. Man kann also sicherlich irgendwie anders argumentieren,da ich nicht denke das wir so eine komplizierte Partialbruchzerlegung lösen sollen. Die Funktion die integriert werden soll hat eine Nullstelle bei 1. Also schließe ich daraus,dass die fläche von 1/a bis 1 gleich groß mit der Fläche von 1 bis a sein muss, weiß abe rnicht inwiefern mir das jetzt dabei hilft. man müsste das ja irgendwie zeigen

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wenn es nicht berechnet werden soll , dann so:

Der Integratinsbereich ist symmetrisch zur Null. Das Integral ist also Null.

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In der letzten Zeile muss \(f(\color{red}{-}z)=-f(z)\) stehen.

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Nur ein Abschreibfehler ,Danke