Berechnen Sie den Grenzwert mithilfe von L'Hospital

Question

Hi,

Berechnen Sie den Grenzwert mithilfe von L'Hospital

Lim x --> 1       (1-x) * tang(x* pi / 2)

Wie soll ich hier L'Hospital anwenden, wenn ich keinen Bruch habe?

Gruß

Answer 1

Lim x --> 1       (1-x) * tang(x* pi / 2)

ist vom Typ 0 * unendlich , kannst draus machen

tan(x* pi / 2)    /     (1/(1-x))      
dann hast du unendlich durch unendlich

Comments

Danke für die Antwort.

Bin mir jetzt nicht ganz sicher, wie ich das ableiten soll.

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gibt          (  pi/2*cos^2(pi*x/2)  )     /    (  1/ (x-1)^2     )

=      pi*(x-1)^2     /   (   2* cos^2(pi*x/2)   )   Das ist jetzt der Typ  0 : 0

also nochmal ableiten  gibt

2pi*(x-1)       /     2*2*cos(pi*x/2) * ( - sin (pi*x/2 )) * pi/2

= 2pi*(x-1)       /     - 2pi*cos(pi*x/2) * sin (pi*x/2 )      ist wiederTyp  0 : 0 , also nochmal

gibt

=  2pi /   (    pi^2  -  2*pi^2*cos^2(pi*x/2)   )

und   cos^2(pi*x/2) geht gegen 0 , also die Klammer gegen pi^2 

also alles gegen  2/ pi .

Answer 2

Ich habe durch Probieren herausgefunden das
für mich eine andere Umformung besser ist

Das aber schon eine recht komplizierte Aufgabe.

Comments

Danke für die Antwort und die ausführliche Lösung. Da tan(1 * pi / 2) = 0,0274 .. ist, gehe ich davon aus, dass die Nachkommastellen nicht betrachtet werden. Stimmt das?

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Ich verstehe auch noch nicht genau, wie du den Nenner abgeleitet hast. Könntest du das vielleicht kurz erklären?

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im Nenner steht ein Bruch der nach der Quotientenregel abgeleitet
werden kann : ( 1 / b ) ´ =  - b ´/ b^2

Außerdem ist  [ tan ( x ) ] ´=  [ tan ( x ) ] ^2 + 1

Oh, ich sehe gerade der Term ist etwas falsch notiert

Anstelle
[ tan ( x * π / 2 ) + 1 ]^2
muß es heißen
[  tan ( x * π / 2 ) ^2  + 1 ]

Es wurde falsch hingeschrieben aber richtig weitergerechnet.

Die ganze Ableitung erfolgt nach der Quotientenregel, der Ableitung
des Tangens und der Kettenregel ( für dem Term im Tangens ).

Answer 3

Wie soll ich hier L'Hospital anwenden, wenn ich keinen Bruch habe?

$$ \lim_{x\to1} \left((1-x) \cdot \tan\left(\frac{x \cdot \pi} {2}\right)\right) = \lim_{x\to1} \frac { (1-x) \cdot \sin\left(\frac{x \cdot \pi} {2}\right) }{ \cos\left(\frac{x \cdot \pi} {2}\right) } { } = \dots$$