Question

Eine Urne enthält sechs schwarze und mehrere weisse Kugeln.  Zwei Kugeln werden miteinander gezogen. Sie sind mit der Wahrscheinlichkeit P = 0.5 gleichfarbig. Wie viele weisse Kugeln sind in der Urne?

Answer 1

x weisse gibt
p(ss) =  6/(6+x)       *      5/(5+x)       =  30/((6+x)(5+x))
p(ww)= x/(6+x)       *      (x-1)/(5+x)   =  (x^2 - x ) /((6+x)(5+x))

also p( zwei gleiche Farben) =   30/((6+x)(5+x))  +   (x^2 - x ) /((6+x)(5+x)) =     (x^2 - x +30) /((6+x)(5+x))

und das ist 0,5

  (x^2 - x +30) /((6+x)(5+x)) =   1/2 
2x^2 - 2x +60   =  (6+x)(5+x)
ausrechnen gibt x=10 oder x=3
also sind 3 oder 10 weisse Kugeln dabei.

Comments

Ich danke dir Tausend Mal!!!!

Answer 2

Hi, ich gebe mal einen Tipp: Betrachte den Versuch als zweimaliges Ziehen einer Kugel ohne Zurücklegen aus einer Urne mit \(6\) schwarzen und \(w\) weißen Kugeln.

Da die Wahrscheinlichkeit für zwei gleichfarbige Kugeln \(1/2\) sein soll, muss die Wahrscheinlichkeit für zwei verschiedenfarbige Kugeln auch \(1/2\) betragen. Weiter muss (warum?) die Wahrscheinlichkeit dafür, zuerst eine schwarze und dann eine weiße Kugel zu erwischen, genau so groß sein wie umgekehrt, nämlich wie?

Dies führt auf die einfache Beziehung
$$ \frac { 6 }{ (w+6) } \cdot \frac { w }{ (w+5) } = \frac { 1 }{ 4 } \quad\Leftrightarrow\quad (w-3)\cdot(w-10)=0 $$die sich als äquivalent zu einer quadratischen Gleichung erweist.