Gibt es eine lineare Abbildung von R^3 nach R^3 mit f((1,2,3))=(2,4,6) usw.?

Question

Gibt es eine lineare Abbildung f: ℝ³→ℝ³, für die gilt:

\( f\left(\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right)\right)=\left(\begin{array}{l}2 \\ 4 \\ 6\end{array}\right), f\left(\left(\begin{array}{l}0 \\ 5 \\ 5\end{array}\right)\right)=\left(\begin{array}{l}0 \\ 5 \\ 5\end{array}\right) \), und \( f\left(\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)\right)=\left(\begin{array}{c}0 \\ 0 \\ -1\end{array}\right) \)

Wie gehe ich hier am besten vor? Mit einem Gleichungssystem?

Answer 1

Die drei Vektoren, deren Bilder angegeben sind, bilden eine Basis

von R^3,  Durch die Bilder der Basisvektoren ist eine lin. Abb. festgelegt,

also gibt es genau eine.

Wenn du von einem Vektor das Bild ausrechnen willst, berechne

eine Darstellung durch die drei Basisvektoren

a*v1 + b*v2 + c*v3 und das Bild

ist dann a*f(v1) + b*f(v2) + c*f(v3)