Berechnen Sie den Grenzwert der angegebenen Folge

Question

Ich komme bei der Aufgabe einfach nicht weiter, mich bringt die Reihe in der Folge durcheinander, könnte mir jemand einen Lösungsansatz geben ?

$$an= \frac { 1 }{ n+2 } \sum _{ i=1 }^{ n }{ (i-\frac { n }{ 2 }  } )$$

Answer 1

Betrachtet man zunächst mal nur die Reihe (Summe)

∑ (i = 1 bis n) (i - n/2) 

= ∑ (i = 1 bis n) (i) - n^2/2

= n·(n + 1)/2 - n^2/2

= (n^2 + n)/2 - n^2/2

= n/2

Jetzt betrachtet man die Folge und schreibt die Summe als Ausdruck.

an = 1/(n + 2)·(n/2) = n/(2·n + 4)

Grenzwert sollte da jetzt 1/2 sein.

Comments

irgendwie kann man deinem Rechenweg nur schwer folgen.. wo hast du den limes auf die Folgen angewandt ?

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Bei welcher Zeile hast du Schwierigkeiten ? Nur bei der letzten ?

Wenn deine Folge lautet

an = n/(2·n + 4) 

wie ist dann dort der Grenzwert ?

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ja gut das wäre lim n->∞ n/(2n+4) = n * 1 / n * ( 2 + 4/n) = 1/2

aber ich verstehe nicht so ganz was du mit der Folge gemacht hast...könntest du so nett sein und das im Editor noch einmal aufschreiben ?

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Daher meine Frage:

Bei welcher Zeile hast du Schwierigkeiten ?

Ich habe zunächst nur den Summenterm in einen expliziten Ausdruck umgewandelt.

Dann ersetze ich den Summenterm in der Folge durch den expliziten Term.

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in der dritten Zeile, wie kommt du auf das n²/2 ??

Der vordere teil ist klar, da hast du das n raus gezogen und gekürzt...

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Das n^2/2 war doch in der 2. Zeile bereits vorhanden. Ich habe jetzt nur die Summenformel nach Gauss in einen expliziten Term umgewandelt.

= ∑ (i = 1 bis n) (i) - n²/2

= n·(n + 1)/2 - n²/2

Links:

https://de.wikipedia.org/wiki/Gau%C3%9Fsche_Summenformel

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Ach du meinst

∑ (i = 1 bis n) (i - n/2)  

Du hast in der Summe -n/2. Wie oft wird dieser Term Summiert wenn die Summe von 1 bis n läuft? Dann wird dieser Term genau n mal Summiert. Also haben wir n * (- n/2) = -n^2/2

= ∑ (i = 1 bis n) (i) - n²/2

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ok jetzt habe ich es verstanden, vielen dank :)