Wie berechnet man eine Berührstelle? f(x) = 0.5x^2 – x – 1.5. Welche Tangente G an K steht senkrecht auf T?

Question

Gegeben ist die Funkrion f mit f(x) = 0,5 x² - x - 1,5;  x ∈ ℝ

a) Bestimmen Sie die exakte Gleichung von Tangente T und Normale.

Schaubild K von f in x = 3.

b) Welche Tangente G an K steht senkrecht auf T?

Problem:

Wie Berechne ich die Berührstelle wenn ein punkt auf einen anderen Punkt senkrecht steht. Also ich bin soweit gekommen dass ich die ableitung gemach habe aber dann weiss ich nicht wie ich weiter machen muss bei b)

Welche Tangente G an K steht senkrecht auf T?

Comments

Gegeben ist die Funkrion f mit f(x) = 0,5 x²-x-1,5

Welche Tagente G an K steht senkrecht auf T?

Ansatz : ableiten f(x) = x-1

G steht senkrecht auf T

und da muss ich die Berührstelle berechnen und den Punkte  T(3/0) habe ich von der Grafik abgelesen

f`(x)=x-1 Punktprobe mit T ist der Ansatz so richtig denn ich bekomme das ergebnis net

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Die Aufgabenstellung ergibt so noch keinen Sinn. So, wie es da steht, kann T kein Punkt sein, sondern vielleicht der Graph einer anderen Funktion. Bitte versuche, das noch genauer, möglichst wörtlich, aufzuschreiben.

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also ich denke ich muss die pp machen und dann die formel machen Normaletagenete = 1/Mt

Answer 1

Hi

1. Gleichung der Tangenten und der Normalen:
T:   y = 2*(x-3);
N:  y = -1/2*(x-3);

2. Tangente G:
G muss die gleiche Steigung haben wie N. Da G auch Tangente an die Parabel ist hat sie auch die Steigung der Ableitung im Berührpunkt. Es gilt: f'(x) = x - 1 = -1/2; x = 1/2;
Damit lässt sich auch der y Wert des Berührpunktes berechnen.
 y(x=1/2) = 0,5*x^2 -x -1,5 = -15/8;
in die Geradengleichung für G eingesetzt lässt sich der letzte unbekannte Parameter der Geradengleichung für G bestimmen. t = -13/8;
G: y = -1/2*x  -13/8;

lg JR

Comments

Was meinst du mit der geradengleichung den Schritt verstehe ich nicht könntest du mir bitte das mir bitte nochmal erklären

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Ok.

Vorbemerkung:
Die Gerade N und die Gerade G haben die gleiche Steigung (N und G stehen beide senkrecht auf T sind also parallel, haben also die gleiche Steigung).
N: y = m_N*x + t_N;
G: y = m_G*x + t_G;  --->  m_N= m_G = -1/2;
In der Geraden gleichung ist also nur noch der Parameter t_G unbekannt. Um ihn zu bestimmen braucht man noch einen weiteren Punkt von dem man weiß, dass er auch der Geraden liegt. Da bietet sich der Berührpunkt an. Der ist aber noch nicht bekannt, aber man kann ihn berechnen

Berechnung des Berührpunktes:
Der Berührpunkt liegt an einer Stelle auf der Parabel an der die Parabel die Steigung -1/2 haben muss, denn die Gerade G hat diese Steigung und verläuft durch den Berührpunkt.
Die Ableitung einer Funktion an einem bestimmten Punkt gibt die Steigung der Funktion in diesem Punkt an. Also gilt f'(x_B) = x_B - 1 = m_G = -1/2;  (x_B ist die x-Koordinate des Berührpunktes)
x_B = 1/2; in f(x) eingesetzt liefert y_B.
y(x_B) = 0,5*x_B² -x_B -1,5 = -15/8;    BP(1/2  |  -15/8) Berührpunkt.

BP in G einsetzen:
t_G =   y_B - m_G*x_B = -13/8;

Damit lautet G:
G: y = -1/2*x  -13/8;

 

lg JR