Beschreiben Sie den Grenzverlauf des Ortskerns mit Hilfe einer Funktion zweiten Grades.

Question

Aufgabe:

Die Landstraße durch Bad Bramstedt führt durch die Koordinaten \( A(-2 \mid 1,5) \) und \( B(2 \mid-0,5) \). Zum Zwecke der Verkehrsberuhigung soll eine Umgehungsstraße gebaut werden. Diese soll fließend (knickfrei) im Punkt A abgehen und im Punkt C wieder auf die alte Landstraße führen.

Das nördich gelegene Naturschutzgebiet (die nördliche Grenze wird beschrieben durch \( g: g(x)=0,19 x+2,03 \) für \( -1,5 \leq x \leq 2,5 \)) soll dabei auf keinen Fall berührt werden. Ein Planungsbüro liefert für den Straßenverlauf den folgenden Vorschlag:

\( f: f(x)=-\frac{1}{6} x^{3}-\frac{1}{3} x^{2}+\frac{1}{6} x+\frac{11}{6} \)

(a) Der nördlichste Punkt des Ortskerns liegt bei \( P_{N}\left(-\frac{1}{3} / \frac{4}{3}\right) \) und die Grenze verläuft durch den Punkt \( (P(1|0) \). Beschreiben Sie den Grenzverlauf des Ortskerns mit Hilfe einer Funktion zweiten Grades.

(b) Überprüfen Sie rechnerisch, ob alle Planungsvorgaben eingehalten wurden.

Answer 1

zu b) knickfrei abgehen heißt ja nur, das die Steigung der alten Landstraße m= - 0,5

auch bei der Umgehungstraße in den Punkten A und B vorliegt.

Dazu machst du  f ' (2) und f ' (-2) und schaust, ob - 0,5 rauskommt.

für die Frage mit dem Naturschutzgebiet berechnest du durch

die Differenz  0,19x + 2,03   - f(x) 

Das müsste ja dann in dem Bereich nie negativ sein.

Also bestimmst du von der Differenz d(x)   das Maximum

( mit  d ' (x) = 0  und so ... ) und schaust, ob das negativ ist.

Comments

hallo mathef,
Knickfreiheit wird glaube ich nur im Punkt A gefordert.
Siehe auch die Skizze.

Answer 2

Hier meine Berechnungen

 

Korrektur:
Die Ortsgrenzfunktion wird über den Scheitelpunkt P geführt und
muß o ( x ) = - ( x + 1/3 )^2 + 4/3 heißen

Comments

Weiter mit dem Schnittpunkt.
Die Schnittpunkt  wäre eine Funktion 3.Grades
g ( x ) - f ( x ) = 0 und nur schwer zu lösen.

Also die erste Ableitung bilden und sehen wo die
Differnzfunktion einen Extremwert hat.

[ g ( x ) - f ( x )  ] ´
g ´( x ) - f ´( x )
0.19 - ( -1/2 * x^2 - 2/3 * x + 1/6 )
0.19 + 1/2 * x^2 + 2/3 * x - 1/6
Extrempunkt
1/2 * x^2 + 2/3 * x -0.023333 = 0  | * 2
x^2 + 4/3 * x - 0.4666 = 0  | pq-Formel oder quadratische Ergänzung
x = -1.62 ( Außerhalb des Intervalls -1. <= x <= 2.5 )
und
x = 0.288
g ( 0.288 ) = 0.19 * 0.288 + 2.03 =  2.08
f ( 0.288 ) = 1.85

f ( x ) liegt im Punkt der kleinsten Differenz unterhalb von g( x ).

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danke ... vielen vielen vielen dank :))))))))