Berechnen Sie alle Häufungspunkte der Folge (an) mit an:=f(n)

Question

Aufgabe:

Sei \( f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Q} \cap[0,1] \) eine Abzählung von \( \mathbb{Q} \cap[0,1] \).

Berechnen Sie alle Häufungspunkte der Folge \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \), definiert durch \( a_{n}:=f(n) \).

Geben Sie auch den größten Häufungspunkt (also limsup \( _{n \rightarrow \infty} a_{n} \) ) sowie den kleinsten (also \( \left.\liminf _{n \rightarrow \infty} a_{n}\right) \) an.

Comments

Was ist denn ein Häufungspunkt einer Folge?

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Ein häufungspunkt ist auf gut Deutsch ein Punkt , gegen die eine Teilfolge einer Folge konvergiert.

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Und warum wird er dann nicht Häufungswert genannt? Man spricht ja auch nicht von einem Grenzpunkt!

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Ja. Eine andere Charakterisierung von Häufungspunkten (mit der wir hier schneller zum Ziel kommen) ist: In jeder Umgebung eines Häufungspunktes liegen unendlich viele Folgenglieder. D.h.: Ist \(a\in\mathbb{R}\) ein Häufungspunkt der Folge, dann gibt es für jedes \(\varepsilon>0\) unendlich viele \(n\in\mathbb{N}\), sodass \(a_n\in (a-\varepsilon, a+\varepsilon)\) (bzw. \(|a_n-a|<\varepsilon\)).

Kommst du damit weiter?

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Nein leider nicht ,denn diese Definition hab ich ja auch und bin nicht weitergekommen 

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Wir nehmen mal eine rationale Zahl \(q\) und eine Umgebung dieser Zahl, \((q-\varepsilon, q+\varepsilon)\). Liegen in dieser Umgebung noch weitere rationale Zahlen? Wenn ja, wie viele?

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Ich hätte jetzt mal ja gesagt und zwar endlich viele ..?

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Es sind noch ein paar mehr, um genau zu sein: Unendlich viele.
In jeder Umgebung einer rationalen Zahl liegen unendlich viele (ir-)rationale Zahlen, und in jeder Umgebung einer irrationalen Zahl liegen unendlich viele (ir-)rationale Zahlen.

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Ah ok super danke !:)

Wie muss ich nun da weitergehen ?

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Jetzt könntest du nochmal selbst überlegen. Und es ist auch nicht schlimm, wenn das länger als ein paar Minuten dauert. Auch nicht, wenn du vielleicht erst morgen auf die Lösung kommst. Gerade am Anfang braucht man ein bisschen Zeit, um sich mit solchen Aufgaben vertraut zu machen. :-)

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Hm. Ich verstehe die Frage auch nicht ganz. Ist denn jede reelle Zahl im Intervall von 0 bis 1 ein Häufungspunkt der Folge an?

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Ja.         

Answer 1

In jeder Umgebung einer Zahl x aus [0;1] liegen doch unendlich viele rationale Zahlen, die also alle als Forgenglied vorkommen, damit ist jedes solche x ein Häufungspunkt der Folge.

Kleiner als 0 und größere als 1 gibt es aber nicht (denn dann gibt es immer eine Umgebung, die nur kleinere als 0 bzw. größere als 1 enthgält) und also ist 0 der kleinste und 1 der größte.