Gleichung nach b umstellen (Vorzeichenproblem)

Question

Aufgabe:

Gleichung nach b umstellen:

\( C=a-\frac{a}{3}(2 a b-1) \)

\( C=a-\frac{2 a^{2} b+a}{3} \)

\( C+\frac{2 a^{2} b+a}{3}=a \)

\( 2 a^{2} b+a=3 a-3 c \)

\( b=\frac{3 a-3 c-a}{2 a^{2}} \)

\( b=\frac{2 a-3 c}{2 a^{2}} \)

Ansatz/Problem:

Das Problem ist, dass in der Lösung "4a" angegeben ist und nicht "2a" wie ich es habe. Kann mir jemand sagen wo der Fehler ist?

Answer 1

Das Hauptproblem ist eine unnötig verworrene Gleichungsbearbeitung, die entsprechend viele Chancen eröffnet, etwas zu versemmeln.

$$ C = a - \frac a 3 (2ab-1) $$
von rechts aus den Bruch ausbauen, war schon mal gut
$$ C = a - \frac {a  (2ab-1)}3 $$
und ausmultiplizieren schadet zu Anfang selten
$$ C = a - \frac {  (2a^2b-a)}3 $$
aber anstelle jetzt alles rüberundnüberzuschubsen, erweitern wir lieber die Summe auf der rechten Seite
$$ C = \frac {3a}3 - \frac {  (2a^2b-a)}3 $$
und erreichen so die Addierbarkeit der Teilterme
$$ C =  \frac { 3a- (2a^2b-a)}3 $$
un uffbasse weche de Klammer unnem Minus
$$ C =  \frac { 3a- 2a^2b+a}3 $$
jetzt folgt feierlich die  Addition 3+1
$$ C =  \frac { 4a- 2a^2b}3 $$
so langsam kann das herumräumen beginnen
$$ 3 \cdot C =   4a- 2a^2b $$
$$ 3 \cdot C -   4a= - 2a^2b $$
die finale Division
$$ \frac{3 \cdot C -   4a}{ - 2a^2}  =b $$
rearrangement der Vorzeichen aus kosmetischen Erwägungen
$$ \frac{  4a -3 \cdot C }{  2a^2}  =b $$

wär das was ?

Answer 2

Ja du hast leider recht. Du hast ein kleines Vorzeichenproblem. Direkt im ersten Schritt, also im 2. Kasten von oben stimmt was nicht. Du schreibst da so einiges auf einen Bruchstrich, der hier wie eine Klammer funktioniert. D.h. das minus in der Klammer (2ab - 1) muss erhalten bleiben. Du nimmst zwar die Klammer weg, aber dadurch dass anschließend alles auf einem Bruch steht, vor dem ein minus steht, hast du quasi nicht vollständig ausmultipliziert. Das minus in der Klammer müsste erhalten bleiben und wenn du dann weiter rechnest kriegst du auch 4a statt 2a raus.