Komplexe Zahlen (potenzieren)

Question

ich bin gerade im Verzweiflungsmodus angelangt. Ich wäre euch sehr dankbar für eure Hilfe.

Folgendes ist mir gegeben:

$${ (2-\sqrt { 2 }  i) }^{ 8 }$$

Hierbei sollen die Potenzen mit der Formel von Moivre berechnet werden.

Das Ergebnis soll -> $$1296{ e }^{ 1,3593i }$$ entsprechen.

Mein Problem ist das ich nicht auf die $${ e }^{ 1,3593i }$$ komme.

Hab wie folgt gerechnet:

4.Quadrant:

$$arctan(\frac { -\sqrt { 2 }  }{ 2 } )+2\bullet \pi $$

$$=5,668$$

$$=>{ \sqrt { 6 }  }^{ 8 }(cos(5,668\bullet 8)+\quad i\quad sin\quad (5,668\bullet 8)$$

Aber das passt nicht :(

Mfg

Daniel

Answer 1

c = 2 - √2 i

|c| = √(2^2 + (√2)^2) = √6

α = arg(c) = arctan(- √2 / 2) = -0.6154797086

(√6·e^{- 0.6154797086·i})^8 = (√6)^8·e^{- 0.6154797086·8·i} = 1296·e^{- 4.923837668·i}

Nun kann man beim Winkel 2 pi addieren

1296·e^{- 4.923837668·i + 2·pi·i} = 1296·e^{1.359347639·i}

Comments

Alles klar.

Aber wieso darf man erst später 2 pi dazu nehmen. Gibt es da eine bestimmte Regel?

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2 pi ist ein Vollkreis. Damit ändert sich weder am Sinus noch am Cosinus noch an einer komplexen Zahl etwas.

Answer 2

Hi, also ich kannte die Formel nicht, aber habe sie mir gerade angeschaut. Ich würde zuerst meine komplexe Zahl $$z=2-\sqrt{2}i$$ auf die Form $$z=r(cos \ \varphi + i \ sin \ \varphi)$$ bringen:$$r = |z| = \sqrt{6}$$ $$\varphi = arctan \ \frac{b}{a} \approx -0.6158$$ $$\Rightarrow \quad z = \sqrt{6} \ (cos(-0.6158) + i \ sin(-0.6158)) \ .$$

Jetzt kannst du deine Formel anwenden:$$z^8 = \sqrt{6}^8 (cos(-0.6158) + i \ sin(-0.6158))^8 \\ = 1296 \ (cos(8 \cdot (-0.6158)) + i \ sin(8 \cdot (-0.6158))) \\  = 1296 \ (cos(-4.9264) + i \ sin(-4.9264)) \\ = 1296 \ e^{-4.9264 \ i} = 1296 \ e^{2pi - 4.9264 \ i} = 1296 \ e^{1.3567 \ i} \ .$$

Du hast scheinbar die falsche "arctan"-Formel verwendet, um Phi auszurechnen.

Comments

Dir auch vielen Dank..

Meine arctan-Formel scheint wohl nur zugreifen wenn ich vorher meine Werte *8 genommen hätte. Hab das gar nicht berücksichtigt gehabt..

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Hier (https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl#Von_der_algebraischen_Form_in_die_Polarform) siehst du, wann du welche Formel verwenden musst. In deinem Fall die erste, weil a=2>0.