Eigenräume sind invariant

Question

Aufgabe:

Sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum und f,g ∈ End(V) mit fg = gf.

Zu zeigen: Jeder Eigenraum von g ist f-invariant.

Ansatz/Problem:

Ich habe hier 2 Ideen:

1. Sei U_λ der Eigenraum von g zum EW λ, dann gilt für alle v ∈U_λ

g(v) = λv => λf(v) = f(λv) = f(g(v)) = g(f(v))

(darf ich den letzten schritt machen und g mit f tauschen? laut fg=gf schon oder?)

=> f(v) ∈ U_λ

_=> f(U_λ) ⊆ U_λ                qed.

2. zz. f(ker(g-λI) ⊂ ker(g-λI)

also f(g(v)) = f(λv) = λf(v) ∈ ker(g-λI)

da f(v) =λv     =>   λ∈ker(g-λI) mit v ∈ ker(g-λI)           qed.

Sind beide richtig? Welche ist es besser zu nehmen und wieso?

Answer 1

Ein Eigenraum von g ist ein Untervektorraum W von V, für den g(w) = λw gilt für einige λ ∈ F und alle w ∈ W. Da fg = gf gilt, können wir schreiben:

f(g(w)) = (fg)(w) = (gf)(w) = g(f(w))

Daher gilt f(g(w)) = λf(w) für alle w ∈ W. Das bedeutet, dass f(W) ⊆ W und somit ist W ein f-invarianter Untervektorraum von V.