Frage zum Ablauf bei Taylorentwicklungen

Question

Ich habe eine Fragen bezüglich Ablauf bei Taylorentwicklungen anhand eines konkreten Beispiels:

Entwickle die Funktion f(x) = (sin(x))² in eine Taylorreihe an der Stelle x₀ = 0.75π. Schätze die Genauigkeit des Polynoms bis n = 5 ab für Werte, die sich von x₀ um weniger als ein Bogengrad unterscheiden.

In der Musterlösung wird die entwickelte Taylorreihe so dargestellt:

$$0.5+ \sum_{k=1}^{\infty}{\frac{-sin(\frac{k\pi}{2})2^{k-1}}{k!}}(x-0.75\pi)^k $$

Wie komme ich bitte auf diesen Teil mit dem Summenzeichen?

Ich gehe nämlich in der Regel so vor, dass ich die ersten n Summanden mit dem Taylorkoeffizienten bereche:

$$\frac {1}{2}-(x-\frac{3\pi}{4}) + \frac{2}{3}(x-\frac{3\pi}{4})^3-...$$

Ist das überhaupt notwendig oder könnte ich diese Regel nach zwei Summanden bereits eruieren?

Besten Dank!

Answer 1

nach der Taylorformel sind doch die Koeffizienten
immer  f ^(k) (x0)  /  k!
also immer die k-te Ableitung  bei xo durch k!.

Häufig kann man nach einigen Ableitungen die Formel raten und
mit vollst. Ind. beweisen.

Comments

Dann müsste ich ja quasi die k-te Ableitung bestimmen, doch wie kommt man da auf -sin?

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das ist ja sin(k*pi/2)  Setz mal für k die Werte 1,2,34, .. ein.

Dann ist das ein Faktor, der immer passend 0,1 oder -1 ist.