Folgende Funktion an der Stelle x0 = 1 nicht differenzierbar zeigen

Question

Ich soll bei folgender Funktion an der  Stelle x₀ =1 auf Differenzierbarkeit überprüfen.

f(x) = ((1-x³)/(1+x³))^0,5

Also um den Bruch eine Wurzel,wozu ich, falls es möglich ist, grafisch nicht zum Einfügen imstande war.

Es muss ja rechts und links von 1 der gleiche Grenzwert rauskommen.

Die Funktion ist in diesem Intervall (-1,1] definiert. Könnt ihr mir weiterhelfen? Kann ich mir den Grenzwert von rechts mir anschauen, wenn das Intervall so wie hier definiert ist?

Comments

Ist dir bekannt das die Wurzelfunktion \(g(x) = \sqrt{x} \) in \(x=0\) nicht diffbar ist?

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*dass

Ja, ist mir bekannt, da der linksseitige Grenzwert nicht existiert? Ist das die Argumentation?

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Bei solchen Sätzen würde ich mich mit dem Korrigieren zurückhalten

"Kann ich mir den Grenzwert von rechts mir anschauen, wenn das Intervall so wie hier definiert ist?"

Aber danke für den Hinweis.

"da der linksseitige Grenzwert nicht existiert?"

Nein, dies ist nicht die passende Argumentation für die Aussage aus meinem Kommentar. 

Das der Grenzwert des Differenzenquotienten an der Stelle nicht existiert ist ein guter Ansatz. Für die Argumentation benutze beispielsweise die Aussage aus meinem vorigen Kommentar. Natürlich spielt der Definitionsbereich dabei auch eine Rolle.

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Könnte ich über die erste Ableitung argumentieren. Wenn ich in der ersten Ableitung die 1 einsetze, wird der Bruch durch 0 geteilt.

Reicht das als Argument oder ist der Weg ganz falsch?

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Das wäre dein Argument:

Die Funktion ist diffbar auf (-1,1) und hat eine Ableitungsfunktion. Diese Ableitungsfunktion ist nicht definiert für die Stelle x=1 also kann die Funktion dort nicht diffbar sein.

Diese Argumentation wird zwar häufig (fälschlicherweise) verwendet, da sie ja so einfach "nachzurechnen" ist, allerdings ist sie nicht tragbar, da Differenzierbarkeit eine punktweise definierte Eigenschaft ist und dementsprechend auch so zu überprüfen ist.

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Man kann beide Argumente in gewisser Weise kombinieren: Die Funktion ist stetig in (-1,1] und differenzierbar in (-1,1). Mit dem Mittelwertsatz erhaelt man: $${f(1+h)-f(1)\over h}=f'(1+\theta h)$$ für \(h<0\) und ein \(\theta\in(0,1)\). Damit kann man den Differenzenquotienten an der Stelle 1 mithilfe der schon berechneten Ableitung untersuchen.

Answer 1

meine Einschätzung

Es soll nur nachgeschaut werden ob die Funktion für x = 1 diff-bar ist.
1 gehört noch zum Def-Bereich.
Bilde ich die erste Ableitung kommt heraus
f ´( x ) = .... / √ ((1-x³)/(1+x³))

Für  x = 1 ist der Nenner-Ausdruck 0

Es ergibt sich also eine Divison durch 0 die nicht definiert ist.
Die Funktion ist für x = 1 nicht diffbar.

Genau dasselbe wie für  √ x
( √ x  ) ´ = 1 / ( 2 * √ x  )
Ist x = 0 haben wir eine Divison durch 0.
Die Funktion ist für x = 0 nicht diff-bar.

Comments

Danke, bin durch DEINE anderen Beiträge auf das Einsetzen des Wertes in die erste Ableitung gekommen.

Danke

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Nur weil die Ableitung bei \(x=1\) nicht auf diese Weise berechnet werden kann, bedeutet das nicht, dass sie nicht existiert. Das muss man schon mit dem Differentialquotienten überprüfen.

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Danke, bin durch DEINE anderen Beiträge auf das Einsetzen des Wertes in die erste Ableitung gekommen. Danke

Tja, wenn man etwas Falsches nur oft genug wiederholt, wird es irgendwann auch jemanden geben, der daran glaubt!

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@jd136
Dann formuliere doch bitte eine eigene und richtige Antwort
und lass uns nicht unwissend sterben.

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Hier noch eine Ergänzung

Der linksseitige Grenzwert der Steigung ist - ∞

Ob das noch weiter hilft ?

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@Fragesteller
Schau einmal unter

https://de.wikipedia.org/wiki/Differenzierbarkeit

Dort steht eine andere Definition für Diff-barkeit als
ich sie hier verwendet habe.

Bei Interesse können wir die Sache dann noch weiter
verfolgen.

Nachtrag :
- ich habe verwendet : die 1.Ableitung an einer Stelle
muß einen Wert ergeben
- Wikipedia: Mathematik
die Eigenschaft einer Funktion, sich lokal um einen Punkt in eindeutiger Weise
linear approximieren zu lassen.

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Und wenn du das gemacht hast dann schaue dort unter
Beispiele für nicht überall diff-bare Funktionen.
Dort wird die Wurzelfunktion als im Punkt x = 0 als
nicht diff-bar angeführt weil
" Der Graph der Funktion hat an der Stelle eine Tangente, diese verläuft aber
vertikal und besitzt deshalb keine Steigung. "

Locker vom Hocker oder es bleibt kompliziert.

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@Georg:

Das ist nicht wirklich das Hauptargument warum die Funktion nicht diffbar ist, sondern nur ein Versuch das ganze geometrisch zu interpretieren. Mit der vertikalen Tangente hört es ja nicht auf. Es geht bei x=0 um einen Randwert der Funktion, dort kann man ja unendlich viele Tangenten anfügen, so dass der Sinn über Tangenten zu sprechen in diesem Fall nur der ist, dass man keine eindeutige finden kann. Der eigentliche Beweis liegt in der korrekten Verwendung der Definition.

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Es geht bei x=0 um einen Randwert der Funktion ( hier √ x ) ,
dort kann man ja unendlich viele Tangenten anfügen,
so dass der Sinn über Tangenten zu sprechen in diesem Fall nur der ist,
dass man keine eindeutige finden kann.

Dies würde doch genau wieder meiner etwas einfachen, ursprünglichen
Argumentation entsprechen,
Da " die 1.Ableitung im Punkt x = 0 nicht definiert ist , weil 1 / 0 nicht definiert ist "
kann ich keine Tangente(n) einzeichnen.

Diese Variante wurde aus Genauigkeitsgründen durch die
Wikipedia - Definition: " im Punkt x  linear approximierbar ist " ersetzt.

Nur aus dem Grund weil die Tangente gegen vertikal geht und die Steigung
gegen ∞ geht oder ist, ist √ x  im Punkt x = 0 nicht diff-bar.

Wurzelfunktion mit 2 Punkten und der linearen
Approximation an dieser Stelle

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georgborn: x=0 ist zwar linear im Sinn von "eine Gerade", aber x=0 ist keine lineare Funktion von x. 

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Hier noch eine Definition von Diff-barkeit die sich doch
recht bewährt hat.

1.) Stetigkeit von  f ( x )
linker Grenzwert = Funktionswert = rechter Grenzwert

2.)Diff-barkeit von f ( x )
- Stetigkeit
und
für f ´( x )
linker Grenzwert = Funktionswert = rechter Grenzwert

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Um Differenzierbarkeit zu zeigen setzt du die Existenz der Ableitungsfunktion voraus?

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Ist in den meisten Fällen gegeben.

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Dann gibt es nichts zu zeigen. Die Existenz der Ableitungsfunktion impliziert Differenzierbarkeit.

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@georgborn:

Das klassische Standardbeispiel zur Widerlegung Deiner Behauptungen ist \(f(x):=x^2\sin{1\over x}\) für \(x\ne0\) und \(f(0):=0\). f ist ueberall differenzierbar, speziell gilt f'(0)=0. Aber: \(\lim_{x\to0}f'(x)\) existiert gar nicht.

Des weiteren ist z.B. \(f(x):=\sqrt{|x|^3}\) im Nullpunkt differenzierbar. Da schadet es auch nicht, dass man die Quadratwurzel im Nullpunkt nicht differenzieren kann, weil die innere Funktion das kompensiert.