Was ist eine komplexe Nullstelle und woran erkenne ich diese?

Question

Das Beispiel in meinem Mathebuch lautet wie folgt:

∫(5x² - 13x + 15) / (2x³ - 8x² + 10x) dx

Nach dem herausheben von "2x" aus dem Nenner steht das "x² - 4x + 5" komplexe Nullstellen besitzt und es wird mit folgendem Ansatz weitergerechnet

(A / x) + ((Bx + C) / (x^2 -4x +5)).

Meine Fragen lauten nun

1.) Was ist eine komplexe Nullstelle und woran erkennt man diese am Polynom.

2.) Warum wird mit dem oben genannten Ansatz weiter gerechnet und nicht einfach mit der pq Formel ?

Vielen lieben Dank bereits Voraus

Comments

Hi, der Hinweis auf die komplexen Nullstellen ist insofern nicht sehr nützlich, als das jedes reelle quadratische Polynom zwei komplexe Nullstellen besitzt. Interessanter ist hier schon, dass dieses Polynom keine reellen Nullstellen aufweist. Der gewählte Ansatz ist eben der für eine reelle Partialbruchzerlegung.

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Hallo und danke für die schnelle Antwort!

Wenn ich das richtig verstanden habe interessieren mich die komplexen Nullstellen für den weiteren Rechenverlauf gar nicht sondern vielmehr das dass es keine reellen Nullstellen gibt ?

Muss ich also immer mit diesem Ansatz rechnen wenn es keine reellen Nullstelle gibt und was ist eine reelle Partialbruchzerlegung?

Lg

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Danke für eure Antworten.. hat mir sehr geholfen!! :)

Answer 1

Muss ich also immer mit diesem Ansatz rechnen wenn es keine reellen Nullstelle gibt und was ist eine reelle Partialbruchzerlegung?

wenn du reelle Nullstellen hast, kannst du ja mit zwei

Brüchen   a/ ( x- 1- Nullstelle)  +  b / ( x - 2. Nullstelle) arbeiten.

wenn es keine reellen gibt, nimmst du den Ansatz wie oben beschrieben.

Answer 2

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es ist dann also ->

(5x² - 13x + 15) / (2x³ - 8x² + 10x) = 1/2   *  [  3/x + (2x - 1 )/(x² - 4x + 5)  ]

und für die Berechnung deines Integrals schreibst du das so auf ->

1/2   *  [  3/x + (2x -  1 )/(x² - 4x + 5)  ] =

1/2   *  [  3/x + (2x - 4)/(x² - 4x + 5)  + 3/( (x-2)² + 1 )    ]

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