Verstehe Restglied nicht

Question

Ich verstehe das Restglied nicht. In unserem Skript steht:

"Beschreibt man eine Funktion durch das Taylorpolynom vom Grad n, so gilt:

Es gibt eine Zahl X zwischen x₀ und x mit

$$R_n(x;x_0) = f^{(n+1)}(X)\cdot \frac {(x-x_0)^{n+1}}{(n+1)!}$$

Das heisst, der Fehler lässt sich in vielen Fällen abschätzen."

Mir ist nicht klar, was ich für die verschiedenen x einsetzen muss. x₀ scheint die Entwicklungsstelle zu sein.

Answer 1

D.h. wenn Du eine Funktion an der Stelle \( x \) z.B. \( x = 2 \) berechnen möchtest, entwickelst Du die Funktion um den Punkt \( x_0 \) z.B. \( x_0 = 0 \) Die Formel für das Restglied sagt Dir nun, dass es einen Wert \( \xi \) zwischen \( x_0 = 0 \)und \( x = 2 \) gibt, s.d. die Taylorentwicklung bis zum Grade \( n \) plus dem Restglied an der Stelle \( \xi \) den genauen  Wert der Funktion an der Stelle \( x \) ergibt. D.h. der Wert der Funktion an der Stelle \( x \) weicht maximal um den Wert des Restgliedes vom wahren Wert ab. Wenn man das Restglied bzgl. des Wertes \( \xi \) maximiert, hat man den Fehler nach oben abgeschätzt.

Comments

Ok, soweit mal verstanden. Was heisst das bitte nun konkret für eine Aufgabe: Dass ich das Maximum der n+1-Ableitung abschätzen muss?

Hier eine konkrete Aufgabe:

https://www.mathelounge.de/243767/taylorpolynom-fehler-abschatzen-und-bogenmass

---

Genau, denn die restlichen Werte in der Restgliedformel sind ja bekannt.

---

In der verlinkten Aufgabe habe ich Probleme auf den Fehler der Musterlösung zu kommen. Ich denke, es muss irgendwie an einem Missverständnis von n=5 liegen. Ich weiss nicht, ob die sechste Ableitung für das Restglied benötigt wird, oder die fünfte, weil "bis" steht. Könntest Du Dir das bitte mal anschauen?