Parameter so bestimmen, dass LGS unendlich viele Lösungen hat

Question

Ich habe ein Gleichungssystem der Form:

I x + y + (3a+3)z = 3a-8

II (5+2a)x - y + 4z= 24

III ax - y + 5z = 12

Nun habe ich keine Ahnung wie ich a so bestimmen kann, dass es eine, keine und unendlich viele Lsg gibt. Immer wenn ich etwas umstelle klappt das wieder mit den a nicht ..

mfg

Answer 1

Nimm mal die Determinante der Koeffizientenmatrix und setze sie gleich null

DET [1, 1, 3·a + 3; 5 + 2·a, -1, 4; a, -1, 5] = - 3·a^2 - 24·a - 41 = 0

a = - √21/3 - 4 ∨ a = √21/3 - 4

Hm. Schau mal ob du das Gleichungssystem richtig aufgeschrieben hast. Diese Lösungen sind etwas unschön.

Comments

Ja das passt so erst einmal, danke! Wenn ich jetzt genau eine Lsg haben möchte müsste das ja für alles gelten !=null aber was ist wenn ich undendlich viele Lsg haben möchte?

Wenn die det 0 ist habe ich ja keine ?

---

Wenn die Determinante Null ist hast du keine Lösung oder unendlich viele Lösungen. Was davon zutrifft müsstest du noch ergründen. Das kannst du machen indem du einen Vektor durch den Lösungsvektor ersetzt und nochmals die Determinante bestimmst.

---

Sicher das geht. Kommt mir nur alles komisch vor, da wir das eig. nicht anhand von Determinanten machen ...

danke trotzdem

---

Muss ich das dann mit allen Nebendeterminanten machen?

mfg

---

Kannst natürlich auch mit dem Gauss rechnen. Schöner wird es dadurch aber auch nicht.

Wie gesagt ich wunder mich da eh über die Lösung.

Mein Taschenrechner kommt auf die Lösung

x = (39·a + 100)/(3·a^2 + 24·a + 41) ∧
y = (18·a^2 - 153·a - 452)/(3·a^2 + 24·a + 41) ∧
z = (3·a^2 + 7·a + 8)/(3·a^2 + 24·a + 41)

Demnach gebe es nie unendlich viele Lösungen was auch dafür sprechen würde das eventuell mit der Gleichung etwas nicht stimmt.

---

Aber angenommen ich möchte das jetzt mit den Determinaten machen und bilde alle 3 Nebendeterminanten. Dann gilt ja eig. x=D1/D y = D2/D ...

Aber wenn D=0 war, was muss jetzt bei den Nebendeterminanten rauskommen damit keien Lsg. bzw. unendlich viele Lsg?

---

Die Nebendeterminante müsste für den gleichen Parameter a null weden damit unendlich viele Lösungen heraus kommen.

---

und für keine Lösung?

---

Dann ist die Nebendeterminante ungleich Null.