Werden Kommentare hier noch bewertet? Ich mach erst mal dein Minuszeichen weg:
u ( x ; y ) := ( x ² + y ² - 1 ) / [ ( x - 1 ) ² + y ² ( 1 )
Wir werden sehen, dass sich ( 1 ) ganz natürlich ausdrücken lässt durch die Variable z : ( x - 1 ) Umwandlung des Zählers
x ² - 1 = ( x ² + 1 ) - 2 = ( 2a )
= ( x ² - 2 x + 1 ) + 2 ( x - 1 ) = ( 2b )
= z ² + 2 z ( 2c )
u ( x ; y ) = u ( z ; y ) = 1 + 2 z / ( z ² + y ² ) ( 3 )
Deine aufgabe wäre eigentlich, ( 3 ) abzuleiten. Ich vermute mal, dass du irgendwo spürst, was ich schon seit Jahrzehnten Predige:
Die Quotientenregel ( QR ) ist ABSOLUT TÖDLICH .
Ihr müsst sie meiden WIE DIE PEST .
Wenn du aus der Hypnose erwachst, hast du DIESES WORT NIE GEHÖRT .
Die QR vermittelt dir nicht die Spur einer Einsicht in die Struktur der zu untersuchenden Funktion.
Im Gegenteil; sie reißt dich immer tiefer in ein wahnhaftes psychedelisches Delirium.
Lange habe ich mit meiner Antwort gezögert, bis ich zu folgendem Schluss kam. Dir ist ganz sicher nicht unbekannt, dass man gebrochen rationale Funktionen ( GRF ) mit Polynomdivision ( PD ) + Teilbruchzerlegung ( TZ ) aufleitet ( Auch ich kann Deutsch sprechen - weil ihr doch immer " Hochpunkt " sagt. Ich sage nicht " Partialbruchzerlegung " , sondern TZ . )
Offenbar bin aber ich der Einzige von euch, der erkennt, dass man GRF nicht nur mit PDTZ AUF-sondern auch ABleiten muss. doch ohne Witz; bei der Konkurrenz ===> Cosmiq verstieg sich ein Schüler Tatsache zu der Frage
" Beim Ableiten gibt es doch die QR . Aber beim Aufleiten muss ich PDTZ benutzen; hioer gibt es auch eine QR für Aufleiten? " ( diese Frage hat etwas Ungeniales ... )
Anfangs war ich ja noch etwas skeptisch, weil ich mich noch nie an eine GRF mit mehreren Veränderlichen heran getraut hatte. Bis ich eben fest stellte, dass gerade über die PDTZ alles maximal easy wird.
PD haben wir ja schon in ( 3 ) ; uns ist es gelungen, eine Konstante abzutrennen, die beim Ableiten den Bach runter geht. Aber schauen wir uns doch mal die Nullstellen des Nenners in ( 3 ) näher an; du kannst zwar machen, was du willst. Aber ich will jetzt mal y als unabhängige Veränderliche ansprechen, nach welcher entwickelt wird und z als eine quasi konstante Zahl. Obwohl - die folgende Rechnung kannst du gerne nachvollziehen, wenn du die Rollen von y und z vertauschst. Der Nenner in ( 3 ) faktorisiert
y ² + z ² = ( y + i z ) ( y - i z ) ( 4a )
2 z / ( z ² + y ² ) = ( 4b )
= A / ( y - i z ) + A * / ( y + i z ) ( 4c )
Die gängigen Lehrbücher schrecken natürlich ab; auch im Internet bei Wolfram und ===> Arndt Brünner liesest du, es gelte ein gekoppeltes LGS zu lösen. Schon spannend, wie viel KI die in ihre Software stecken. ( Unter dem Gelächter der ganzen Abteilung meinte ein Kollege zu mir:
" Herr Doktor; Intelligenz ist immer natürlich. Nie künstlich ... " )
Ein typischer Fall von Betriebsblindheit; dieses LGS ist Frucht eines Welt fremden Existenz-und Eindeutigkeitssatzes ( den natürlich auch mal einer beweisen muss; das bestreite ich nicht. )
Hier kennste den? Ich hatte mal einen Assistenten
" Hier bei dene DGL ; gell. Da duut mer doch als de Nachbar fraache; du gepp mer maa en Ansatz, damittisch weiß, was raus kommt.
Bei dene DGL ; gell. Da duun mir Ihne so Existenzbeweise beipringe, weil. Die Existenzsätze, gell. Die duun mir Sie nachher in die Prüfung abfraache. aber wiemer die Lösunge findet, gell. Das sagemir Ihne nischt, weil das giept es nischt ... "
Bei einem wie dir, der humoristische - äh harmonische Funktionen kennt, heißt es wohl Eulen nach Athen tragen, wenn ich hier ein Kapitel Residuen anfange.
Bist jetzt du die Eule und ich das Athen?
Ein Verfahren, das quasi nirgends dokumentiert ist. Ein Ortogonalisierungsverfahren, das in der Lage ist, noch 4 711 Polstellen eines gekoppelten LGS zu separieren; wie das?
Um den Pol y1 = i z legst du einen Integrationskreis, der so eng sein möge, dass der Pol y2 = ( - i z ) ausgesperrt wird. Es ist erlaubt, mit Gleichung ( 4bc ) alles zu machen was duwillst. So lange du es auf beiden Seiten machst. Auch Residuenintegration.
Dieses Verfahren ist dokumentiert in einer Arbeit von ==> Rothstein-Trager, die online steht.
Ehrlich gesagt; ich begreife nicht mal die Motivation hinter diesem Paper.
Nur das Residuenkapitel, weil ich ( mit zehnjähriger Verspätung ) diese Entdeckung nochmal gemacht hatte ( wobei ich mir schmeichle, mehr Residuentechnik drauf zu haben als Rothstein-Trager )
Besonders witzig. Es muss da ein Lehrbuch geben, das sich auf Rothstein-Trager bezieht, ohne sie eigens zu erwähnen. Der User bezeichnet diese Residuentechnik denn auch als " Zuhältermetode " ( s.u. )
Was Residuen sind, weißt du. Hand aufs Herz; weißt du auch, mit welcher Formel man sie berechnet?
Mit der ==> Cauchyschen Integralformel ( CIF ) an dieser Stelle solltest du mir unbedingt antworten, weil ich ganz wissbegierig bin, ob du das heute zum ersten Mal hörst.
Alle Bücher verschleiern es ( Sonst wären die ( online ) Fourier Transformationstabellen ja alle überflüssig. )
als ich meinen eigenen Prof darauf ansprach, meinte der doch Tatsache, das sei ein Geheimnis; icjh solle das niemandem verraten.
Stichpunkt TZ; siehst ja, wohin uns diese Geheimniskrämerei geführt hat ...
Die CIF in Worten:
" Das Residuum ist gleich dem Wert des Integralkerns an der Polstelle. "
In ( 4c ) ist offensichtlich die ( konstante ) Funktion A der Integralkern; wir haben die beiden Unbekannten separiert. Und jetzt der Trick. Integralkern in ( 4b ) ist natürlich alles, was sichtbar bleibt, wenn du den singulären Term ' y - i z ' " mit der Hand zuhältst " ( d.h. abdeckst ) ( Also Zuhälterverfahren nicht von der Frau des Kiezkönigs, der " two-Hole-Dress " , sondern von dem Abdecken mit der Hand. ) Den Integralkern bezeichne ich mit dem Buchstaben G ; wir " halten zu "
G ( y ; i z ) = 2 z / ( y + i z ) ( 5a )
A = G ( i z ; i z ) = ( - i ) ( 5b )
u ( z ; y ) = 1 - i / ( y - i z ) + i / ( y + i z ) ( 5c )
Natürlich wäre es ein Klax, ( 5c ) abzuleiten . aber überleg mal; ich setze jetzt
w := y + i z ( 6a )
dann ist
f ( w ) = 1 + i / w - i / w * ( 6b )
die ersten beiden Terme sind nicht nur harmonisch, sondern sogar komplex analytisch. Der dritte Term ist eine an der reellen Achse gespiegelte analytische Funktion ( also immer noch harmonisch )
Die Summe zweier harmonischen Funktionen ist harmonisch; wzbw
