Wieso kann die langfristige Entwicklung einer Population nur durch die folgender Form berechnet werden?

Question

Man hat eine Matrix gegeben in der Form :        0   0    a

b   0    0

0    c   0

Wenn   a*b*c=1 gilt, so wäre die Population konstant, über 1 steigend und unter 1 zerfällt sie. Wieso muss sich die Matrix nach dieser Anordnung halten?

Answer 1

Was hindert dich daran, eine andere Matrix zu nehmen?
Solange Kontext und Interpretation stimmen, ließe sich sowas auch wunderbar durch eine Übergangsmatrix beschreiben.

Comments

Ja aber angenommen es ist so gegeben. Man könnte die Entwicklung an der Matrix erkennen.

Wenn z.B. ein weiterer Wert stehen würde würde es nicht gehen. Wieso kann nach dieser Form erst gerechnet werden.

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Falls noch nicht getan, rechne mal ein paar Potenzen dieser Matrix aus und guck was passiert.

Und allgemein, stell dir das ganze einfach als Wachstumsfaktoren vor, ähnlich wie im Zinsrechnen z.b.

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Wenn ich die Matrix 3 mal malnehme, kommt eine Einheitsmatrix heraus. Und wenn ich die mit einem Vektor malnehme, kommt der selbe Bestand heraus. Gilt also die Form a*b*c  für eine Übergangsmatrix nach 3 Generationen demnach ?

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Wenn das entsprechende Übergangsdiagramm ein kreisförmiger Graph ist, hat die Übergangsmatrix in jeder Zeile und in jeder Spalte nur jeweils einen von Null verschiedenen Eintrag. In diesem einfachen, für manche Zusammenhänge aber typischen, Falle gilt das von dir angeführte "Wenn   a*b*c=1 gilt, so wäre die Population konstant, über 1 steigend und unter 1 zerfällt sie."

Die Frage "Wieso muss sich die Matrix nach dieser Anordnung halten?" verstehe ich nicht so recht. Immerhin wäre es denkbar, dass die Matrix weitere Einträge enthält. Dann wären weiterhin alle drei Fälle möglich, sie sind nur nicht mehr so einfach zu identifizieren. Die Situation wird also komplizierter!

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Okay, wenn z.B. a an der 1 Position der 1. Zeile wäre, könnte man die  Einträge wieder malnehmen?

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Erwähnte ich nicht, dass es komplizierter wird?

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Nein. Ich meine nämlich was wenn a sich an einer anderen Position befinden würde  Nicht wenn die Matrix weitere Einträge hätte.

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Solange in jeder Zeile und in jeder Spalte nur ein von Null verschiedener Eintrag zu finden ist, ändert sich nichts Wesentliches.