Ermitteln der Nullstelle , Extrema, Wendepunkt und Skizze

Question

ich habe hier folgende Gleichung

f(x) = 1/6(-x^6+3x^4-3x^2+1) 

ich muss zu dieser Gleichung folgendes ermitteln .

Nullstelle; Extrema; Wendepunkt und eine Skizze

Meine Frage ist wie gehe ich hierbei vor. Ich weiß, dass ich die erste Ableitung benötige um die Extrem Punkte zu ermitteln und die 2 Ableitung für den Wendepunkt habe dies auch gemacht aber komme nicht weiter.

Ich habe folgendes noch herausgefunden 1/6 ist eine Extremstelle an der y Achse.

Answer 1

Funktion und Ableitungen

f(x) = 1/6·(- x^6 + 3·x^4 - 3·x^2 + 1)

f'(x) = - x·(x^4 - 2·x^2 + 1)

f''(x) = - 5·x^4 + 6·x^2 - 1

Symmetrie

Symmetrie zur Y-Achse durch die geraden Exponenten von x.

Verhalten im Unendlichen

lim (x → -∞) f(x) = -∞

lim (x → ∞) f(x) = -∞

Y-Achsenabschnitt f(0)

f(0) = 1/6

Nullstellen f(x) = 0

- x^6 + 3·x^4 - 3·x^2 + 1 = 0     | Subst. z = x^2

- z^3 + 3·z^2 - 3·z + 1 = 0

(1 - z)^3 = 0

z = 1 --> x = ± 1 --> Sattelpunkt bei -1 und +1

Extrempunkte f'(x) = 0

- x·(x^4 - 2·x^2 + 1) = 0

x = 0

z^2 - 2·z + 1 = 0     | Subst. z = x^2

(z - 1)^2

z = 1 --> x = ± 1 --> War schon aus den Nullstellen bekannt

Wendepunkte f''(x) = 0

- 5·x^4 + 6·x^2 - 1 = 0     | Subst. z = x^2

- 5·z^2 + 6·z - 1 = 0

(1 - z)·(5·z - 1) = 0

z = 1 --> x = ± 1 --> War schon aus den Nullstellen bekannt

z = 1/5 --> x = ± √(1/5) --> ± 0.4472

f(√(1/5)) = 1/6·(- (√(1/5))^6 + 3·(√(1/5))^4 - 3·(√(1/5))^2 + 1) = 32/375 = 0.08533

WP(± 1 | 0) ; WP(± 0.4472 | 0.08533)

Comments

- 5·x⁴ + 6·x² - 1 = 0     | Subst. z = x²

- 5·z² + 6·z - 1 = 0

z³ + 3·z² - 3·z + 1 = 0

(1 - z)³ = 0

Darauf muss man erstmal kommen. Super Mathecoach. Du bist der Größte ! Chapeau !

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Weil es in der Aufgabenstellung so gefordert war
und zur Kontrolle

~plot~ 1/6 * ( - x^6 + 3 * x^4 - 3 * x^2 + 1 ) ~plot~

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Also Schüler sollte das eventuell später wie folgt aussehen:

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hey mathecouch danke erstmal.

ich habe bei Nullstellen ermitteln nicht wie du das dritte Binom angewendet sonder ausgeklammert sodass ich die PQ Formel genommen habe.

Meine Frage zu deiner  Methode mit dem 3 Binom. liest man dort einfach nur die 1 ab und sagt dann es ist Z = 1 oder wie kommt man auf die 1 ?

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hey mathecouch danke erstmal.

ich habe bei Nullstellen ermitteln nicht verstanden weswegen du das dritte Binom angewendet hast. Ich habe ausgeklammert und die  PQ Formel angewendet.

Meine Frage zu deiner  Methode, mit dem 3 Binom.

Liest man dort einfach nur die 1 ab und sagt dann es ist Z = 1 oder wie kommt man auf die 1 ?

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Genau

(z - 1) oder (1 - z) ist null wenn z = 1 ist.