Hi, für \( n = 1 \) gilt für die rekursive Darstellung
$$ x_2 = \frac{1}{3}(16b -5a) $$ und für die explizite Darstellung
$$ x_2 = \frac{15(1-15)a + 3(15^2-1)b}{14 \cdot 3^2} = \frac{-15 \cdot 14 a + 3 \cdot 224 b}{126} = \frac{16b - 5a}{3} $$ also besteht Gleichheit für \( n = 2 \), ebenso für \( n=0 \text{ und } n=1 \) und damit ist der Induktionsanfang gezeigt.
Jetzt der Induktionsschluss:
Nach Induktionsvoraussetzung gilt jetzt Gleichheit für die beiden Darstellungen bis zum Index \( n \) und Du musst zeigen das daraus folgt, dass auch Gleichheit für \( n+1 \) gilt. Dazu kannst Du jetzt die explizite Darstellung in die rekursive Darstellung einsetzen und alles ausrechnen.
Da man die explizite Darstellung auch schreiben kann als
$$ \frac{5^n (3b-a)}{14 }+\frac{3(5a-b)}{14 \cdot 3^n} $$ sieht man, das der zweite Summand auf jeden Fall gegen \( 0 \) konvergiert, wenn \( n \to \infty \) geht. Der erste Summand konvergiert gegen \( \pm \infty \) für \( n \to \infty \) falls \( 3b \ne a \) gilt. Konvergieren kann der erste Summand nur für \( b = \frac{a}{3} \)