Beweis explizite Darstellung

Question

Hallo Forum-Mitglieder,

ich habe wirklich große Schwierigkeiten bei folgender Aufgabe einen Ansatz  zu finden:

Wie soll man hier denn mit VI das zeigen? Könnet ihr mir einen kleinen Ansatz liefern, damit ich die Aufgabe lösen kann. Gibt es da irgendeine allgemeine Vorgehensweise für solche Aufgaben?

LG

Orbi

Comments

Na, Du zeigst einfach, dass die explizite Darstellung für n=0 und n=1 stimmt und auch die Rekursionsgleichung erfuellt.

Answer 1

Hi, für \( n = 1 \) gilt für die rekursive Darstellung
$$ x_2 = \frac{1}{3}(16b -5a) $$ und für die explizite Darstellung
$$ x_2 = \frac{15(1-15)a + 3(15^2-1)b}{14 \cdot 3^2} = \frac{-15 \cdot 14 a + 3 \cdot 224 b}{126} = \frac{16b - 5a}{3}  $$ also besteht Gleichheit für \( n = 2 \), ebenso für \( n=0 \text{ und } n=1 \) und damit ist der Induktionsanfang gezeigt.

Jetzt der Induktionsschluss:
Nach Induktionsvoraussetzung gilt jetzt Gleichheit für die beiden Darstellungen bis zum Index \( n \) und Du musst zeigen das daraus folgt, dass auch Gleichheit für \( n+1 \) gilt. Dazu kannst Du jetzt die explizite Darstellung in die rekursive Darstellung einsetzen und alles ausrechnen.

Da man die explizite Darstellung auch schreiben kann als
$$ \frac{5^n (3b-a)}{14 }+\frac{3(5a-b)}{14 \cdot 3^n} $$ sieht man, das der zweite Summand auf jeden Fall gegen \( 0 \) konvergiert, wenn \( n \to \infty \) geht. Der erste Summand konvergiert gegen \( \pm \infty \) für \( n \to \infty \) falls \( 3b \ne a \) gilt. Konvergieren kann der erste Summand nur für \( b = \frac{a}{3} \)

Comments

Danke für die ausführliche Antwort!

"Dazu kannst Du jetzt die explizite Darstellung in die rekursive Darstellung einsetzen und alles ausrechnen."

Ich soll wirklich einsetzten? Ist das denn nicht viel zu viel Rechnerei bzw. zu umständlich? Gibt es da nicht vielleicht einen anderen Weg?

---

Ich kenn keinen anderen Weg, außer Du benutzt so wie ich ein CAS Tool. In meinem Fall Mathcad. Für Studenten / Schüler für ca. 100 € zu erwerben.

---

Ich verstehe zwar, wie man durch Äquivalenzumformungen von der expliziten Form in die von Ihnen geschreibene Form kommt, doch wie sind Sie darauf gekommenß Wie lange haben Sie denn geraucht, um auf eine solche Umformung zu kommen? Gibt es da etwa irgendeinen Trick zu oder irgendetwas, was man sich stets bei solchen Aufgaben als Ziel setzten sollte?

LG

Orbi

---

Ich habe mir angeschaut, wie ich die Potenzen mit \( n \) anordnen muss, damit ich den Grenzwert berechnen kann. Das es Konstanten im Nenner gibt, ist klar das diese Teile gegen \( 0 \) konvergieren, da ja im Nenner \( 3^n \)  steht. Und dann bleibt noch der Rest. Das war eigentlich alles an Überlegungen.