Wie komme ich von dieser Form 2*(1 + 2^{1/N} + ... + 2^ (N-1)/N ) zu dieser?

Question

Gegeben ist dieser Term:

2 * ( 1 + 2^1/N + ... + 2^{(N-1) / N} )

Eine äquivalente Form hierzu ist:

2 * ((2^1/N)^N - 1)  /  (2^1/N - 1)

Wie kann ich ihn zu dieser Form umformen?

Answer 1

Du kannst beide Terme durch 2 teilen. Dann machst Du eine Substitution mit x = 2^1/n

Dann hast Du (1 + x + x² + x³ + ... + x^n-1) = (xⁿ - 1) / (x - 1) 

multipliziert mit (x-1) auf beiden Seiten: (x-1)*(1 + x + x² + x³ + ... + x^n-1)  = (xⁿ - 1)

Wenn Du die linke Seite ausmultiplizierst, fallen alle Glieder weg, ausser das erste und das letzte, sodass Du den rechten Ausdruck bekommst.