Cauchy-Folge Beweis einer rekursiven Folge

Question

Hallo Forum-Mitglieder,

ich stehe momentan vor einem Problem zu zeigen, dass die folgende rekursive Folge konvergiert:

Dies MUSS ich leider so beweisen, indem ich zeige, dass die Folge eine Cauchy-Folge ist.  Ich habe mir mal dazu einige Videos im Internet und auch ein paar  Rechenbeispiele angesehen, jedoch lassen sie sich jedoch irgendwie nicht auf diese rekursive Folge übertragen. Könnte mir jemand vielleicht einen kleinen Denkanstoß geben?

LG

Orbi

Comments

Aus der Rekursionsgleichung folgt: \(|x_n-x_{n-1}|={1\over2}|x_{n-1}-x_{n-2}|=\ldots=({1\over2})^{n-2}|x_2-x_1|\). Zeige damit: \(|x_{n+p}-x_n|\to0\) für \(n\to\infty\) unabhaengig von \(p\).

Answer 1

Du kannst auch die explizite Darstellung \( x_n =  \frac{5}{3} + \frac{4}{3} \left( -\frac{1}{2}  \right)^n \) benutzen