Hi, zu (a)
aus \( f(t+h)-f(t) = \alpha h f(t) + \varphi(h) \) folgt
\( \lim_{h\to 0} \frac{ f(t+h) - f(t) } {h} = f'(t) = \alpha f(t) \) wegen \( \lim_{h\to 0 } \frac{\varphi(h)}{h} = 0 \)
D.h. die Änderungsrate ist propertional zu sich selbst.
zu(b)
Aus \( f'(t) = \alpha f(t) \) mit \( f(0) = f_0 \) gilt, \( \frac{df(t)}{f(t)} = \alpha dt \) also durch Integration
\( \ln(f(t)) = \alpha \cdot t +c \) und daraus \( f(t) = f_0e^{\alpha \cdot t} \)
zu (c)
\( f_0 \) und \( \alpha \) in die Lösung aus (b) einsetzten und \( t \) so berechnen, dass gilt
\( f_0 e^{\alpha \cdot t } = \frac{f_0}{2} \)
Daraus folgt \( t = -\frac{\ln(2)}{\alpha} \)
