Wie ergibt die Summer dieser Reihe das?

Question

mir ist gegeben eine Reihe ∑∞ n=1 x^n/(n(n+1)) und gefragt ist seine Konvergenzradius und die Summe.

den Konvergenzradius habe ich leicht mit der Quotientenkriterium als 1 bekommen aber ich verstehe nicht,

wieso jetzt die Summe von dieser Reihe 1+(1-x)*log(1-x)/x ergeben sollte. Könnte jemand mir das erklären?

Answer 1

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n(n+1)} =\sum_{n=1}^\infty  \frac{x^n}{n} -\sum_{n=1} ^\infty \frac{x^n}{n+1}=-log(1-x)+ 1 -\frac{1}{x} \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n}=\\ 1-log(1-x)+log(1-x)/x.$$