Wie finde ich hier die arithmetische Folge? yN = yN-1 + 2N

Question

Angenommen wir haben die Zahlen y₁, y₂, y₃ ... wobei y₁ = 1 und y_N = y_N-1 + 2N. Gesucht ist nun eine Formel für y_N, die für n ≥ 2 gilt. 

Ich glaube, dass man dort die Formel für die arithmetische Folge benutzen sollte. Wie macht man das?

Answer 1

Am Besten schreibst du einfach erstmal ein paar Glieder der Folge auf:

y_N = y_N-1 + 2N

und y₁ = 1

Also: y₂ = y₁+2*2 = 1 + 4 = 5

y₃ = y₂ + 2*3 = 5 + 6 = 11

y₄ = y₃ + 2*4 = 11 + 8 = 19

y₅ = 29

und so weiter.

 

Eine arithmetische Folge ist das auf jeden Fall nicht, denn für die gilt immer y_N = y_N-1 + c mit einem festen c für alle Folgenglieder.

Da das Wachstum aber immer größer wird, würde ich eine quadratische Formel vorschlagen.

Hier müsste die Lösung n²+n-1 sein, was man mit vollständiger Induktion beweisen kann.

Der Beweis funktioniert folgendermaßen: du zeigst, dass die Formel für n=1 stimmt. Dann zeigst, dass wenn die Formel für n gilt, dass sie dann auch für n+1 gilt. 

Für n=1 ist die Antwort trivial: 1² + 1 - 1 = 1, also ist die Behauptung erfüllt.

Sei nun die Formel bis zu einem gewissen n erfüllt, dann gilt für dieses n auf jeden Fall:

y_n = n²+n-1   (*)

Zu zeigen ist nun, dass dann für n+1 gilt:

y_n+1=(n+1)²+(n+1)-1   (**)

Dabei darf ausgenutzt werden:

y_n+1 = y_n + 2n,    (***)

denn das ist ja die Bildungsvorschrift.

Dafür setzt man nun in die Formel (***) die Formel (*) ein. Damit ergibt sich:
y_n+1 = n² + n - 1 + 2n 

y_n+1 = n² + 2n + 1 + n - 1 - 1

y_n+1 = (n+1)² + (n-1) -1 

was genau der Formel (**) entspricht, also ist die Behauptung für alle n∈ℕ bewiesen.

Frag mich nicht, wie man genau auf die Formel (*) überhaupt kommt. Ich muss zugeben, das ich da ausgehend von "irgendwas quadratischem" einfach erstmal n²+n geraten hab und damit immer zwei zu hoch lag.