Grenzwert von Funktionen mit 2 Variablen berechnen

Question

Benötige hilfe bei folgenden 2 aufgaben hab bei der a) versucht 1/n bzw. 0 für x/y einzusetzen hab aber keine ahnung wie genau ich das dnan vereinfachen soll mit der wurzel
Bei der b) hab ich überhaupt keine ahnung bereits die Präsenzaufgabe war mega unverständlich :(
Wäre super wnen mir das einer erklären könnte. das prinzip bei der a) is mir zumindest klar , b) wiegesagt keine ahnung was ich genau tun soll

Answer 1

Hi,
Aufgabe (a), erweitere den Bruch mit \( 1+\sqrt{x^2+y^2+1} \) und benutze die dritte binomische Formel.

Aufgabe (b)
für gilt $$ f_\lambda(x,y)= \frac{x^2(1+x^2+y^2)+2y^2}{2x^2+(2\lambda^2+2)y^2}  $$
$$ f_\lambda(0,y)= \frac{1}{1+\lambda^2} $$ und
$$ f_\lambda(x,0)= \frac{1+x^2}{2} $$ D.h man kann vermuten, dass gilt
$$ f_\lambda(0,0)= \frac{1}{2} $$ gilt. Das geht nur für \(  \lambda = \pm 1 \)

Comments

ok für Aufgabe a) hab ich jetzt mal die binomische Formel angewendet und hab dann nach Vereinfachung

-1-√(x^2+y^2+1) wenn ich jetzt hier für x=1/n und für y=0 einsetze so erhalte ich als Grenzwert -2. Reicht es mehrere werte einzusetzen oder muss ich das noch irgendwie zeigen das  immer -2 als grenzwert rauskommt. Würde ich ein anderes Ergbnis rausbekommen wäre dies ja gleich ein Beweis dafür das kein eindeutiger Grenzwert existiert.

zu aufgabe b) hab ich ebenfalls  jeweils einmal x bzw. y gleich 0 gesetzt und bin auf die gleichen ergebnisse gekommen. Aber wie kommst du jetzt genau darauf das für x=0 und y=0 der Grenzwert 1/2 ist? So wie ich das verstehe sagst du aus, dass  wenn man y zuerst 0 setzt und anschließend beim ergebnis x noch 0 setzt man auf 1/2 als Grenzwert kommt. Da der Grenzwert gleich sein muss schließt du dann darauf das λ=±1 ist oder? =+-.

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Hi,
zu (a) das Ergebnis nach der Erweiterung ist korrekt. Jetzt kannst Du \( x = 0 \) und \( y = 0 \) einsetzten. Das Ergebnis ist \( -2 \), mehr ist nicht nötig zu zeigen.
zu (b)
Die Grenzwerte für \( \lim_{y\to 0} f(0,y) \) und \( \lim_{x\to 0} fx,0) \) müssen gleich sein da die Funktion stetig sein soll. Also muss gelten
$$ \frac{1}{1+\lambda^2} = \frac{1}{2}  $$