Diagonalisierbar / Eigenvektor

Question

Es sei ein Körper K., und A∈K^{nxn} ,n∈IN geg., gilt dann stets:

A diagonalisierbar <=> es gibt ein linear unabhängiges Tupel (s_(1),...,s_(n)) in K^{nx1} derart, dass s_(i) für alle i∈[1,n] ein Eigenvektor von A ist.

Answer 1

Antwort "Ja" wird dir wohl nicht genügen. Ich versuche mal einen Beweis

anzudeuten.

Hat eine lin. Abb. f bezüglich einer Basis B =  (b₁,b₂,...,b_n)  die Matrix A  Diagonalgestalt, dann steht in der i-ten Spalte das Bild des i-ten Baisvektors. Weil in der i-ten Spalte aber nur in der i-ten Zeile ein Wert x ungleich 0 steht, ist f(b_i) = x*b_i  also bi ein Eigenvektor zum Eigenwert x.
 Und weil die b_i eine Basis bilden, sind sie lin. unabh.

ist umgekehrt   B = (s₁,...,s_n)  ein linear unabhängiges Tupel (s₁,...,s_n) in K^nx1 derart, dass s_i für alle i∈[1,n] ein Eigenvektor von A ist und f die zugehörige lin. Abb,

Dann bilden die si eine Basis von Kⁿ weil die Dimension stimmt und sie lin. unabh. sind.

.  dann steht in der  i-ten Spalte von A das Bild von si und das ist ja wieder x*s_i wegen Eigenvektor.

Also steht bbei der Matrix bezüglich der Basis B in der i-ten Spalte nur an der i-ten Stelle das x und sonst Nullen, also Diagonalform.